Optimización de la producción: Asturfabril

En este problema de optimización, buscamos maximizar la producción. Empezamos identificando las variables y la función que queremos optimizar. Sean: - $x$: número de máquinas compradas. - $y$: número de empleados contratados. La función objetivo que representa la producción es: $$f(x, y) = 9x \cdot y^2$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con dos variables, el primer objetivo es usar las restricciones para expresar la función en términos de una sola variable.

La empresa tiene un presupuesto limitado, lo que nos da una relación entre $x$ e $y$ (la restricción). - Coste total de las máquinas: $2500 \cdot x$ - Coste total de los empleados: $1500 \cdot y$ - Presupuesto total: $22500$ La ecuación de restricción es: $$2500x + 1500y = 22500$$ Simplificamos la ecuación dividiendo por $500$ para facilitar los cálculos: $$5x + 3y = 45$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones de restricción reduce el riesgo de errores aritméticos en las derivadas posteriores.

Despejamos una de las variables de la restricción. En este caso, despejar $x$ es más sencillo para evitar fracciones complejas en la potencia de la función objetivo: $$5x = 45 - 3y \implies x = \frac{45 - 3y}{5} = 9 - \frac{3}{5}y$$ Sustituimos $x$ en la función de producción $f(x, y)$: $$P(y) = 9 \cdot \left( 9 - \frac{3}{5}y \right) \cdot y^2$$ $$P(y) = 81y^2 - \frac{27}{5}y^3$$ El dominio físico del problema requiere que $x \ge 0$ y $y \ge 0$. De $5x + 3y = 45$, si $x=0$, $y=15$. Por tanto, $y \in [0, 15]$. $$\boxed{P(y) = 81y^2 - \frac{27}{5}y^3}$$

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada $P'(y)$ e igualamos a cero: $$P'(y) = \frac{d}{dy} \left( 81y^2 - \frac{27}{5}y^3 \right)$$ $$P'(y) = 162y - \frac{81}{5}y^2$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$162y - \frac{81}{5}y^2 = 0$$ $$81y \left( 2 - \frac{1}{5}y \right) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $y = 0$ (Que daría una producción nula). 2. $2 - \frac{1}{5}y = 0 \implies \frac{1}{5}y = 2 \implies y = 10$. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos son candidatos a máximos o mínimos; debemos verificar cuál de ellos cumple nuestra condición.

Utilizamos la segunda derivada $P''(y)$ para confirmar que $y = 10$ es un máximo relativo: $$P''(y) = 162 - \frac{162}{5}y$$ Evaluamos en $y = 10$: $$P''(10) = 162 - \frac{162}{5}(10) = 162 - 324 = -162$$ Como $P''(10) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $y = 10$. También podemos observar el signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} y & (0,10) & 10 & (10,15)\\ \hline P'(y) & + & 0 & - \end{array}$$ Como la función crece antes de $y=10$ y decrece después, confirmamos el máximo. ✅ **Resultado (empleados):** $$\boxed{y = 10 \text{ empleados}}$$

Finalmente, calculamos el valor de $x$ utilizando la relación de la restricción que hallamos en el paso 3: $$x = 9 - \frac{3}{5}y$$ Sustituimos $y = 10$: $$x = 9 - \frac{3}{5}(10) = 9 - 6 = 3$$ La producción máxima se alcanza con 3 máquinas y 10 empleados. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{Debe comprar 3 máquinas y contratar 10 empleados}}$$