Punto simétrico y distancias en el espacio

**a) Obtenga el punto $P'$ simétrico de $P(1,2,1)$ respecto de $r$. (1 punto)** Primero, extraemos un punto $A_r$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$ dada en su forma continua: $$r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1} \implies \begin{cases} A_r = (1, 1, -1) \\ \vec{v}_r = (1, 2, 1) \end{cases}$$ Para hallar el simétrico $P'$ de un punto respecto a una recta, no usaremos fórmulas directas. El procedimiento consiste en: 1. Hallar un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. 3. Utilizar que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$ para despejar $P'$. 💡 **Tip:** El vector director de la recta $\vec{v}_r$ será el vector normal del plano $\pi$ por ser perpendicular a él.

El plano $\pi$ tiene como vector normal $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 2, 1)$. Su ecuación general es de la forma: $$1x + 2y + 1z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por $P(1, 2, 1)$: $$1(1) + 2(2) + 1(1) + D = 0 \implies 1 + 4 + 1 + D = 0 \implies D = -6$$ Así, el plano es $\pi: x + 2y + z - 6 = 0$. Ahora hallamos el punto $M = r \cap \pi$. Expresamos $r$ en paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + 2(1 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) - 6 = 0$$ $$1 + \lambda + 2 + 4\lambda - 1 + \lambda - 6 = 0 \implies 6\lambda - 4 = 0 \implies \lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = 2/3$ en las paramétricas de $r$: $$x_M = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}, \quad y_M = 1 + 2\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{7}{3}, \quad z_M = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$$ $$M\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, -\frac{1}{3}\right)$$

Como $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Sustituimos los valores de $M\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ y $P(1, 2, 1)$: $$x_{P'} = 2\left(\frac{5}{3}\right) - 1 = \frac{10}{3} - \frac{3}{3} = \frac{7}{3}$$ $$y_{P'} = 2\left(\frac{7}{3}\right) - 2 = \frac{14}{3} - \frac{6}{3} = \frac{8}{3}$$ $$z_{P'} = 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{5}{3}$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'\left(\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, -\frac{5}{3}\right)}$$

**b) Halle la distancia de $P$ a $r$. (0,75 puntos)** La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ es la distancia mínima, que coincide con la distancia entre el punto $P$ y su proyección ortogonal $M$ sobre la recta. Ya hemos calculado $M\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, -\frac{1}{3}\right)$, por lo que la distancia es el módulo del vector $\vec{PM}$: $$\vec{PM} = M - P = \left(\frac{5}{3}-1, \frac{7}{3}-2, -\frac{1}{3}-1\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right)$$ Calculamos su módulo: $$d(P, r) = |\vec{PM}| = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}$$ $$d(P, r) = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{21}{9}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la fórmula $d(P, r) = \frac{|\vec{A_r P} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$, pero habiendo calculado $M$ en el apartado anterior, este método es mucho más rápido y menos propenso a errores. ✅ **Resultado (distancia a la recta):** $$\boxed{d(P, r) = \frac{\sqrt{21}}{3} \text{ unidades}}$$

**c) Halle la distancia de $P$ a $P'$. (0,75 puntos)** La distancia entre $P$ y $P'$ es el módulo del vector $\vec{PP'}$. Por la definición de simetría, sabemos que $d(P, P') = 2 \cdot d(P, M)$, es decir, es el doble de la distancia hallada en el apartado anterior. Calculamos el vector $\vec{PP'}$: $$\vec{PP'} = P' - P = \left(\frac{7}{3}-1, \frac{8}{3}-2, -\frac{5}{3}-1\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{8}{3}\right)$$ Calculamos su módulo: $$d(P, P') = |\vec{PP'}| = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{8}{3}\right)^2}$$ $$d(P, P') = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{84}{9}} = \frac{\sqrt{84}}{3} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$$ Observamos que, efectivamente, $\frac{2\sqrt{21}}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$. ✅ **Resultado (distancia entre puntos):** $$\boxed{d(P, P') = \frac{2\sqrt{21}}{3} \text{ unidades}}$$