Propiedades de determinantes y cálculo de la matriz inversa

**a) Halle los valores de $x$ para los cuales el determinante de $A$ es nulo para cualesquiera valores de $a, b, c$. (0,75 puntos)** Para resolver este apartado, calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando las propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos: $$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & x & c \\ a & b & x \end{vmatrix}$$ Podemos observar que la primera columna tiene el factor común $a$. Además, podemos hacer ceros restando la primera fila a las demás: 1. Aplicamos $F_2 \to F_2 - F_1$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 0 & x-b & 0 \\ a & b & x \end{vmatrix}$$ 2. Aplicamos $F_3 \to F_3 - F_1$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 0 & x-b & 0 \\ 0 & 0 & x-c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al conseguir una matriz triangular superior (todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero), el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal. $$|A| = a \cdot (x-b) \cdot (x-c)$$ $$\boxed{|A| = a(x-b)(x-c)}$$

Queremos que $|A| = 0$ para cualesquiera valores de $a, b, c$. Analizando la expresión $|A| = a(x-b)(x-c)$, vemos que: - Si $x = b$, entonces $|A| = a(b-b)(b-c) = a \cdot 0 \cdot (b-c) = 0$. Esto ocurre independientemente de los valores de $a$ y $c$. - Si $x = c$, entonces $|A| = a(c-b)(c-c) = a \cdot (c-b) \cdot 0 = 0$. Esto ocurre independientemente de los valores de $a$ y $b$. Por lo tanto, para que el determinante sea nulo sin importar los valores de los parámetros $a, b$ y $c$, $x$ debe coincidir con alguno de los valores presentes en las filas que queremos hacer idénticas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = b \quad \text{o} \quad x = c}$$

**b) Si $x = 1$ y $b = c = 2$, halle los valores de $a$ para los cuales $A$ tiene inversa. (0,75 puntos)** Una matriz $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Utilizamos la expresión del determinante hallada en el apartado anterior: $|A| = a(x-b)(x-c)$. Sustituimos los valores dados $x = 1$, $b = 2$ y $c = 2$: $$|A| = a(1-2)(1-2)$$ $$|A| = a(-1)(-1) = a$$ Para que exista la inversa $A^{-1}$, imponemos la condición: $$|A| \neq 0 \implies a \neq 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz es cero, la matriz es singular y no posee inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \neq 0}$$

**c) Halle, si es posible, la inversa de $A$ cuando $x = 0$ y $b = c = a = 1$. (1 punto)** Primero, escribimos la matriz con los valores indicados: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante para asegurar que es invertible: $$|A| = a(x-b)(x-c) = 1(0-1)(0-1) = 1(-1)(-1) = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz tiene inversa. $$\boxed{|A| = 1}$$

La fórmula de la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [Adj(A)]^t$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Como la matriz $A$ es simétrica, su adjunta también lo es, por lo que $[Adj(A)]^t = Adj(A)$.

Aplicamos la fórmula final sustituyendo el determinante $|A| = 1$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$