Límite de una diferencia con funciones trigonométricas

Para resolver el límite, primero reescribimos la función utilizando la definición de la cotangente en términos de seno y coseno: $$\cot ax = \frac{\cos ax}{\sin ax}$$ Sustituyendo en el límite original: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\cos ax}{\sin ax} - \frac{1}{x} \right)$$ Al evaluar en $x=0$, observamos que la expresión es del tipo $(\infty - \infty)$, ya que $\sin(0)=0$ y el denominador de la segunda fracción también es $0$. 💡 **Tip:** Siempre que tengas una resta de fracciones que genera una indeterminación de tipo $\infty - \infty$, el primer paso es unificar las fracciones en una sola para intentar obtener la forma $0/0$ o $\infty/\infty$ y poder aplicar la Regla de L'Hôpital.

Combinamos los términos encontrando un denominador común, que es $x \sin ax$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos ax - \sin ax}{x \sin ax}$$ Evaluamos el límite en $x=0$: - Numerador: $0 \cdot \cos(0) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$ - Denominador: $0 \cdot \sin(0) = 0$ Obtenemos la indeterminación **$0/0$**, lo que nos permite aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: 1. Derivada del numerador: $$(x \cos ax - \sin ax)' = 1 \cdot \cos ax + x(-a \sin ax) - a \cos ax = (1-a) \cos ax - ax \sin ax$$ 2. Derivada del denominador: $$(x \sin ax)' = 1 \cdot \sin ax + x(a \cos ax) = \sin ax + ax \cos ax$$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{(1-a) \cos ax - ax \sin ax}{\sin ax + ax \cos ax}$$ Al evaluar de nuevo en $x=0$: - El denominador sigue siendo $0$ (pues $\sin 0 + 0 \cos 0 = 0$). - El numerador tiende a $(1-a) \cos(0) - 0 = 1-a$. Esto nos lleva a dos casos dependiendo del valor del parámetro **$a$**.

**Caso 1: Si $a \neq 1$** El límite es de la forma $\frac{1-a}{0}$. Esto implica que el límite es infinito (más concretamente, los límites laterales divergirán a $+\infty$ o $-\infty$ según los signos de $x$, $a$ y $1-a$). $$\lim_{x \to 0} \frac{(1-a) \cos ax - ax \sin ax}{\sin ax + ax \cos ax} = \infty \quad (\text{si } a \neq 1)$$ **Caso 2: Si $a = 1$** Si $a=1$, el numerador se anula y volvemos a tener una indeterminación **$0/0$**. La expresión simplificada para $a=1$ es: $$\lim_{x \to 0} \frac{-x \sin x}{\sin x + x \cos x}$$ Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{-x \sin x}{\sin x + x \cos x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-1 \cdot \sin x - x \cos x}{\cos x + 1 \cdot \cos x + x(-\sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x - x \cos x}{2 \cos x - x \sin x}$$ Evaluamos en $x=0$: $$\frac{-\sin 0 - 0 \cos 0}{2 \cos 0 - 0 \sin 0} = \frac{0}{2} = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} (\cot ax - \frac{1}{x}) = \begin{cases} 0 & \text{si } a = 1 \\ \infty & \text{si } a \neq 1 \end{cases}}$$