Posición relativa, planos y distancias en el espacio

**a) Estudie la posición relativa de $r_1$ y $r_2$. (0,75 puntos)** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones implícitas. Para $r_1: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - z = 2 \end{cases}$: Calculamos su vector director $\vec{v_1}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v_1} = ((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v_1} = (1, 2, 1)$$ Para el punto $P_1$, fijamos $x=2$: $2(2)-y=1 \implies y=3$; $2-z=2 \implies z=0$. Así, $P_1(2, 3, 0)$. Para $r_2: \begin{cases} 2x - y = 2 \\ y - 2z = -2 \end{cases}$: $$\vec{v_2} = \vec{m_1} \times \vec{m_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_2} = ((-1) \cdot (-2) - 0 \cdot 1)\mathbf{i} - (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 0)\mathbf{k}$$ $$\vec{v_2} = (2, 4, 2)$$ Para el punto $P_2$, fijamos $y=0$: $2x-0=2 \implies x=1$; $0-2z=-2 \implies z=1$. Así, $P_2(1, 0, 1)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se puede obtener también parametrizando el sistema de ecuaciones.

Comparamos los vectores directores $\vec{v_1} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v_2} = (2, 4, 2)$. Observamos que son proporcionales: $$\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2 \implies \vec{v_2} = 2\vec{v_1}$$ Esto indica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para distinguir ambos casos, comprobamos si el punto $P_2(1, 0, 1)$ de la recta $r_2$ pertenece a $r_1$ sustituyéndolo en sus ecuaciones: $$r_1 : \begin{cases} 2(1) - 0 = 2 \neq 1 \\ 1 - 1 = 0 \neq 2 \end{cases}$$ Como el punto no satisface las ecuaciones, las rectas no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r_1 \text{ y } r_2 \text{ son paralelas.}}$$

**b) Encuentre, si es posible, la ecuación implícita de un plano perpendicular a ambas rectas pasando por $A(0,-2,0)$. (0,75 puntos)** Si un plano es perpendicular a una recta, su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser paralelo al vector director de la recta. Como $r_1$ y $r_2$ son paralelas, comparten la misma dirección, por lo que el vector normal del plano será $\vec{v_1} = (1, 2, 1)$. La ecuación general del plano es: $$1x + 2y + 1z + D = 0$$ Sustituimos el punto $A(0, -2, 0)$ para hallar $D$: $$0 + 2(-2) + 0 + D = 0 \implies -4 + D = 0 \implies D = 4$$ La ecuación implícita buscada es: $$\boxed{x + 2y + z + 4 = 0}$$

**c) Encuentre la distancia entre $r_1$ y $r_2$. (1 punto)** La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta. Usaremos $d(r_1, r_2) = d(P_2, r_1)$. La fórmula para la distancia de un punto a una recta es: $$d(P_2, r_1) = \frac{|\vec{P_1P_2} \times \vec{v_1}|}{|\vec{v_1}|}$$ Ya tenemos $P_1(2, 3, 0)$, $P_2(1, 0, 1)$ y $\vec{v_1} = (1, 2, 1)$. Calculamos el vector $\vec{P_1P_2}$: $$\vec{P_1P_2} = (1-2, 0-3, 1-0) = (-1, -3, 1)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{P_1P_2} \times \vec{v_1}$: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-3-2)\mathbf{i} - (-1-1)\mathbf{j} + (-2-(-3))\mathbf{k} = (-5, 2, 1)$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{w}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}$$ $$|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ Por tanto: $$d(r_1, r_2) = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{30}{6}} = \sqrt{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r_1, r_2) = \sqrt{5} \text{ unidades}}$$