Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real $a$. (1,5 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & -a & 3 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -a & 3 & a \\ -2 & 3 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & a \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -a & 3 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = [a \cdot 3 \cdot 1 + (-a) \cdot (-2) \cdot 2 + 3 \cdot (-2) \cdot (-1)] - [3 \cdot 3 \cdot 2 + (-a) \cdot (-2) \cdot 1 + a \cdot (-2) \cdot (-1)]$$ $$|A| = [3a + 4a + 6] - [18 + 2a + 2a] = 7a + 6 - (18 + 4a) = 3a - 12$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3a - 12 = 0 \implies 3a = 12 \implies a = 4$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica para qué valores el sistema tiene solución única (si $|A| \neq 0$).

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 4$** Si $a \neq 4$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Fröbenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una única solución. **Caso 2: $a = 4$** Si $a = 4$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ sustituyendo $a=4$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 3 & 4 \\ -2 & 3 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes (por ejemplo, usando las columnas 2, 3 y 4): $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = [32 + 3 + 12] - [8 + 4 + 36] = 47 - 48 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado del estudio:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 4: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 4: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, en el caso $a = 1$. (1 punto)** Como $1 \neq 4$, el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos $a = 1$ en el sistema: $$\begin{cases} x - y + 3z = 1 \\ -2x + 3y - 2z = -1 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$$ Sabemos que el determinante de la matriz de coeficientes para $a=1$ es: $$|A| = 3(1) - 12 = -9$$ Aplicamos la **Regla de Cramer** para hallar las incógnitas: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}}{-9} = \frac{[3+2+3]-[9+2+1]}{-9} = \frac{8-12}{-9} = \frac{-4}{-9} = \frac{4}{9}$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-9} = \frac{[-1-4-6]-[-6-2-2]}{-9} = \frac{-11+10}{-9} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}}{-9} = \frac{[3+2+2]-[6+1+2]}{-9} = \frac{7-9}{-9} = \frac{-2}{-9} = \frac{2}{9}$$ 💡 **Tip:** Para aplicar Cramer, sustituimos la columna de la incógnita que queremos calcular por la columna de los términos independientes. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{4}{9}, \quad y = \frac{1}{9}, \quad z = \frac{2}{9}}$$