Geometría en el espacio: Plano que contiene a punto y recta y distancia punto-recta

**a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano $\pi$ que contiene al punto $P$ y a la recta $r$.** Para definir un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano $\pi$ contiene a la recta $r$, contendrá a cualquier punto de la recta y su vector director. De la ecuación continua de la recta $r \equiv \frac{x - 5}{6} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z}{2}$, extraemos: - Un punto de la recta: $A(5, -1, 0)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (6, -3, 2)$ Además, disponemos del punto $P(1, 6, -2)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que el plano contenga al punto $P$ y a la recta $r$, sus vectores directores pueden ser: 1. El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (6, -3, 2)$ 2. El vector que une un punto de la recta con el punto $P$: $\vec{AP} = P - A$ Calculamos $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = (1 - 5, 6 - (-1), -2 - 0) = (-4, 7, -2)$$ Ahora tenemos un punto $P(1, 6, -2)$ y dos vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{AP}$. Comprobamos que no son paralelos (sus componentes no son proporcionales: $\frac{6}{-4} \neq \frac{-3}{7}$), por lo que definen el plano correctamente.

El vector normal $\vec{n}_{\pi}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & -3 & 2 \\ -4 & 7 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{i} \cdot [(-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 7] - \vec{j} \cdot [6 \cdot (-2) - 2 \cdot (-4)] + \vec{k} \cdot [6 \cdot 7 - (-3) \cdot (-4)]$$ $$\vec{n}_{\pi} = \vec{i} \cdot (6 - 14) - \vec{j} \cdot (-12 + 8) + \vec{k} \cdot (42 - 12)$$ $$\vec{n}_{\pi} = -8\vec{i} + 4\vec{j} + 30\vec{k} = (-8, 4, 30)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 2 para trabajar con números más sencillos: $$\vec{n}_{\pi} = (-4, 2, 15)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ nos da los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Sustituimos el vector normal en la ecuación del plano: $$-4x + 2y + 15z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(1, 6, -2)$: $$-4(1) + 2(6) + 15(-2) + D = 0$$ $$-4 + 12 - 30 + D = 0$$ $$-22 + D = 0 \implies D = 22$$ La ecuación del plano es $-4x + 2y + 15z + 22 = 0$. Multiplicando por $-1$ para obtener el término $x$ positivo: ✅ **Resultado:** $$\boxed{4x - 2y - 15z - 22 = 0}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula la distancia entre el punto $P$ y la recta $r$.** La fórmula para la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ que pasa por $A$ con vector director $\vec{v}_r$ es: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ En el apartado anterior ya hemos calculado el vector $\vec{v}_r \times \vec{AP}$, cuyo resultado fue $(-8, 4, 30)$. Note que el orden del producto vectorial solo cambia el signo del vector, pero su módulo (que es lo que necesitamos) será el mismo. Calculamos el módulo del producto vectorial: $$|\vec{AP} \times \vec{v}_r| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 30^2} = \sqrt{64 + 16 + 900} = \sqrt{980}$$ Factorizamos el radical: $$\sqrt{980} = \sqrt{196 \cdot 5} = 14\sqrt{5}$$ 💡 **Tip:** El área del paralelogramo formado por $\vec{AP}$ y $\vec{v}_r$ es el módulo de su producto vectorial. La distancia es la 'altura' de ese paralelogramo.

Calculamos ahora el módulo del vector director de la recta $\vec{v}_r = (6, -3, 2)$: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{14\sqrt{5}}{7} = 2\sqrt{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = 2\sqrt{5} \text{ unidades}}$$