Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores de $\alpha$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ 2 & \alpha & 0 \\ 3 & 1 & \alpha + 4 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \alpha & 2 \\ 2 & \alpha & 0 & \alpha + 4 \\ 3 & 1 & \alpha + 4 & 7 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver qué valores de $\alpha$ anulan su rango.

Aplicamos la regla de Sarrus para hallar el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ 2 & \alpha & 0 \\ 3 & 1 & \alpha + 4 \end{vmatrix} = [1 \cdot \alpha \cdot (\alpha + 4) + 0 \cdot 0 \cdot 3 + \alpha \cdot 2 \cdot 1] - [3 \cdot \alpha \cdot \alpha + 1 \cdot 0 \cdot 1 + (\alpha + 4) \cdot 2 \cdot 0]$$ Operamos: $$|A| = (\alpha^2 + 4\alpha + 2\alpha) - (3\alpha^2) = \alpha^2 + 6\alpha - 3\alpha^2 = -2\alpha^2 + 6\alpha$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2\alpha^2 + 6\alpha = 0 \implies -2\alpha(\alpha - 3) = 0$$ Las raíces son **$\alpha = 0$** y **$\alpha = 3$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es máximo (3 en este caso).

Si $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 3$: El determinante de la matriz de coeficientes es $|A| \neq 0$. Por tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $\text{rango}(A)$) - Número de incógnitas $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. ✅ **Resultado Case 1:** $$\boxed{\text{Si } \alpha \neq 0, 3 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Si **$\alpha = 0$**, sustituimos en las matrices: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 7 \end{array}\right)$$ - Rango de $A$: El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo: $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$. - Rango de $A^*$: Observamos que la segunda fila es exactamente el doble de la primera ($F_2 = 2F_1$). Esto significa que cualquier menor de orden 3 que incluya a ambas filas será cero. Comprobamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 4 - (0 + 4 + 0) = 0$$ Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado Case 2:** $$\boxed{\text{Si } \alpha = 0 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}}$$

Si **$\alpha = 3$**, sustituimos en las matrices: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 7 \\ 3 & 1 & 7 & 7 \end{array}\right)$$ - Rango de $A$: Sabemos que $|A|=0$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$. - Rango de $A^*$: Estudiamos el determinante de orden 3 usando las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 1 & 7 \end{vmatrix} = (21 + 0 + 4) - (18 + 7 + 0) = 25 - 25 = 0$$ Comprobamos las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \\ 3 & 7 & 7 \end{vmatrix} = (0 + 63 + 28) - (0 + 49 + 42) = 91 - 91 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\text{rango}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado Case 3:** $$\boxed{\text{Si } \alpha = 3 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}}$$

**b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para $\alpha = 2$.** Como $\alpha = 2$ no es $0$ ni $3$, sabemos que el sistema es **SCD**. Sustituimos $\alpha = 2$ en el sistema original: $$\begin{cases} (1) \quad x + 2z = 2 \\ (2) \quad 2x + 2y = 6 \\ (3) \quad 3x + y + 6z = 7 \end{cases}$$ Simplificamos la ecuación (2) dividiendo entre 2: $x + y = 3 \implies y = 3 - x$. De la ecuación (1) despejamos $2z$: $2z = 2 - x \implies 6z = 3(2 - x) = 6 - 3x$. Sustituimos $y$ y $6z$ en la ecuación (3): $$3x + (3 - x) + (6 - 3x) = 7$$ $$3x + 3 - x + 6 - 3x = 7$$ $$-x + 9 = 7 \implies x = 2$$ Ahora hallamos el resto de variables: - $x + y = 3 \implies 2 + y = 3 \implies y = 1$ - $x + 2z = 2 \implies 2 + 2z = 2 \implies 2z = 0 \implies z = 0$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado sustituyendo los valores obtenidos en las tres ecuaciones originales para verificar que se cumplen las igualdades. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 2, \; y = 1, \; z = 0}$$