Integral indefinida por partes (cíclica)

Para resolver la integral $\int e^{2x} \text{sen }(x) dx$, observamos que se trata del producto de una función exponencial y una función trigonométrica. Este tipo de integrales se resuelven habitualmente aplicando el método de **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En este caso, al ser una integral cíclica (donde ambas funciones mantienen su forma al derivar o integrar), el orden de elección no alterará el resultado final, pero debemos ser consistentes en los pasos siguientes. Llamamos $I$ a nuestra integral: $$I = \int e^{2x} \text{sen }(x) dx$$

Elegimos las partes para la primera aplicación: - $u = e^{2x} \implies du = 2e^{2x} dx$ - $dv = \text{sen }(x) dx \implies v = -\cos(x)$ Aplicamos la fórmula: $$I = e^{2x}(-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \cdot 2e^{2x} dx$$ Simplificamos la expresión: $$I = -e^{2x}\cos(x) + 2 \int e^{2x}\cos(x) dx$$ Ahora necesitamos resolver la nueva integral $\int e^{2x}\cos(x) dx$, a la que llamaremos $I_2$.

Para resolver $I_2 = \int e^{2x}\cos(x) dx$, volvemos a aplicar el método por partes. Es fundamental mantener la misma asignación de tipos de función para $u$ y $dv$ que en el paso anterior (exponencial para $u$ y trigonométrica para $dv$): - $u = e^{2x} \implies du = 2e^{2x} dx$ - $dv = \cos(x) dx \implies v = \text{sen }(x)$ Aplicamos la fórmula a $I_2$: $$I_2 = e^{2x}\text{sen }(x) - \int \text{sen }(x) \cdot 2e^{2x} dx$$ $$I_2 = e^{2x}\text{sen }(x) - 2 \int e^{2x}\text{sen }(x) dx$$ Observamos que ha vuelto a aparecer nuestra integral original $I$: $$I_2 = e^{2x}\text{sen }(x) - 2I$$

Sustituimos el valor de $I_2$ obtenido en la ecuación del paso 2: $$I = -e^{2x}\cos(x) + 2 \left( e^{2x}\text{sen }(x) - 2I \right)$$ Desarrollamos el paréntesis: $$I = -e^{2x}\cos(x) + 2e^{2x}\text{sen }(x) - 4I$$ Agrupamos los términos con $I$ en el miembro de la izquierda: $$I + 4I = 2e^{2x}\text{sen }(x) - e^{2x}\cos(x)$$ $$5I = e^{2x} (2\text{sen }(x) - \cos(x))$$ Despejamos $I$ y añadimos la constante de integración $C$: $$I = \frac{e^{2x} (2\text{sen }(x) - \cos(x))}{5} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int e^{2x} \text{sen }(x) dx = \frac{e^{2x}(2\text{sen } x - \cos x)}{5} + C}$$