Estudio de asíntotas, puntos singulares y recta tangente

**a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero analizamos el dominio de la función $f(x) = (x^2 + 3x + 1)e^{-x}$. Al ser el producto de un polinomio y una función exponencial, ambos definidos para todo número real, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Como la función es continua en todo $\mathbb{R}$, no existen valores de $x$ donde la función tienda a infinito de forma puntual. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{\text{No tiene asíntotas verticales}}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos los límites en el infinito: 1. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 3x + 1)e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital** dos veces: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 3}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \implies \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal $y=0$ cuando $x \to +\infty$. 2. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} (x^2 + 3x + 1)e^{-x} = (+\infty) \cdot e^{+\infty} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. 3. **Asíntotas Oblicuas:** - Por la derecha no hay (ya hay horizontal). - Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 3x + 1)e^{-x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} (x + 3 + \frac{1}{x})e^{-x} = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$$ Como $m$ no es finito, no hay asíntota oblicua. 💡 **Tip:** Recuerda que si existe asíntota horizontal en un extremo, no puede existir oblicua en ese mismo extremo. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AH: } y = 0 \text{ (solo si } x \to +\infty\text{). No tiene AV ni AO.}}$$

**b) [1 punto] Halla los puntos de la gráfica de $f$ cuya recta tangente es horizontal.** La recta tangente es horizontal cuando la pendiente es cero, es decir, cuando $f'(x) = 0$. Derivamos la función usando la regla del producto: $$f(x) = (x^2 + 3x + 1)e^{-x}$$ $$f'(x) = (2x + 3)e^{-x} + (x^2 + 3x + 1)e^{-x}(-1)$$ $$f'(x) = e^{-x}(2x + 3 - x^2 - 3x - 1)$$ $$f'(x) = (-x^2 - x + 2)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** No olvides la regla de la cadena al derivar $e^{-x}$, su derivada es $-e^{-x}$. $$\boxed{f'(x) = (-x^2 - x + 2)e^{-x}}$$

Igualamos la derivada a cero: $$(-x^2 - x + 2)e^{-x} = 0$$ Como $e^{-x} \neq 0$ para cualquier $x$, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$-x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -2 \end{cases}$$ Calculamos las ordenadas correspondientes: - Para $x = 1: f(1) = (1^2 + 3(1) + 1)e^{-1} = 5e^{-1} = \frac{5}{e}$. - Para $x = -2: f(-2) = ((-2)^2 + 3(-2) + 1)e^{-(-2)} = (4 - 6 + 1)e^2 = -e^2$. ✅ **Resultado (Puntos):** $$\boxed{P_1(1, 5/e) \text{ y } P_2(-2, -e^2)}$$

**c) [0’5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Calculamos los valores necesarios en $x = 0$: 1. Punto de tangencia ($f(0)$): $$f(0) = (0^2 + 3(0) + 1)e^{-0} = 1 \cdot 1 = 1$$ 2. Pendiente de la tangente ($f'(0)$): $$f'(0) = (-0^2 - 0 + 2)e^{-0} = 2 \cdot 1 = 2$$ Sustituimos en la fórmula: $$y - 1 = 2(x - 0) \implies y = 2x + 1$$ 💡 **Tip:** El valor de la derivada en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 2x + 1}$$