Ángulo entre planos y volumen de un tetraedro

**a) [1’5 puntos] Determina el ángulo que forman $\pi$ y $\pi'$.** El ángulo que forman dos planos es igual al ángulo que forman sus vectores normales (o su suplementario, eligiendo siempre el ángulo agudo). Extraemos los coeficientes de las variables $x, y, z$ de las ecuaciones generales de los planos para obtener sus vectores normales: - Plano $\pi \equiv x + 3y + 2z - 5 = 0 \implies \vec{n} = (1, 3, 2)$ - Plano $\pi' \equiv -2x + y + 3z + 3 = 0 \implies \vec{n'} = (-2, 1, 3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano tiene por ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, su vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Utilizamos la fórmula del ángulo entre dos vectores basada en el producto escalar: $$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n'}|}{\|\vec{n}\| \cdot \|\vec{n'}\|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n} \cdot \vec{n'} = (1)(-2) + (3)(1) + (2)(3) = -2 + 3 + 6 = 7.$$ Calculamos los módulos de los vectores: $$\|\vec{n}\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}.$$ $$\|\vec{n'}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos(\alpha) = \frac{|7|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}.$$

A partir del coseno, hallamos el ángulo $\alpha$: $$\cos(\alpha) = 0,5 \implies \alpha = \arccos(0,5) = 60^\circ.$$ ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = 60^\circ \text{ (o } \frac{\pi}{3} \text{ rad)}}$$

**b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro limitado por $\pi$ y los planos coordenados.** El tetraedro está limitado por el plano $\pi$ y los planos $x=0$, $y=0$, $z=0$. Sus vértices son el origen $O(0,0,0)$ y los puntos de corte de $\pi$ con cada eje. Calculamos los puntos de corte de $\pi \equiv x + 3y + 2z = 5$: - **Eje X** ($y=0, z=0$): $x + 3(0) + 2(0) = 5 \implies x = 5 \implies \mathbf{A(5, 0, 0)}$ - **Eje Y** ($x=0, z=0$): $0 + 3y + 2(0) = 5 \implies 3y = 5 \implies y = \frac{5}{3} \implies \mathbf{B\left(0, \frac{5}{3}, 0\right)}$ - **Eje Z** ($x=0, y=0$): $0 + 3(0) + 2z = 5 \implies 2z = 5 \implies z = \frac{5}{2} \implies \mathbf{C\left(0, 0, \frac{5}{2}\right)}$

El volumen del tetraedro con un vértice en el origen es un sexto del valor absoluto del determinante formado por los vectores de los otros tres vértices: $$\vec{OA} = (5, 0, 0), \quad \vec{OB} = (0, 5/3, 0), \quad \vec{OC} = (0, 0, 5/2).$$ Calculamos el determinante: $$|\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})| = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5/3 & 0 \\ 0 & 0 & 5/2 \end{vmatrix} = 5 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{125}{6}.$$ Aplicamos la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{6} = \frac{125}{36} \approx 3,47 \text{ u}^3.$$ 💡 **Tip:** En este caso particular donde el tetraedro está formado por los planos coordenados, el volumen también se puede ver como $\frac{1}{3} \cdot \text{Área base} \cdot \text{altura}$, donde la base es el triángulo rectángulo en el plano $XY$ y la altura es la coordenada $z$. ✅ **Resultado (volumen):** $$\boxed{V = \frac{125}{36} \text{ u}^3}$$