Rango de una matriz con parámetros y potencia de una matriz

**a) [1’75 puntos] Halla el valor, o los valores, de $m$ para los que la matriz $A$ tiene rango 2.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Al ser $A$ una matriz de orden $3 \times 3$, su rango será 2 si el determinante de la matriz es igual a 0 y, simultáneamente, existe al menos un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. En este caso, desarrollamos por la tercera fila ya que tiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & m \\ m - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 - m & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera fila: $$|A| = 0 \cdot A_{31} + (1 - m) \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 0 & m \\ m - 1 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot A_{33}$$ $$|A| = -(1 - m) \cdot (0 \cdot 2 - m(m - 1)) = (m - 1) \cdot (-m(m - 1)) = -m(m - 1)^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el rango sea menor que el orden de la matriz cuadrada, su determinante debe ser cero.

Para que el rango de $A$ sea menor que 3, imponemos que $|A| = 0$: $$-m(m - 1)^2 = 0$$ De esta ecuación obtenemos dos posibles valores para $m$: 1. $m = 0$ 2. $(m - 1)^2 = 0 \implies m = 1$ Ahora debemos comprobar si para estos valores el rango es efectivamente 2.

Estudiamos cada caso por separado: - **Si $m = 0$:** La matriz queda $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Observamos que la primera y la tercera fila son iguales, por lo que el rango no puede ser 3 (confirmado por el determinante). Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1 \neq 0$$ Por tanto, si $m = 0$, el **rango(A) = 2**. - **Si $m = 1$:** La matriz queda $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. La tercera fila es nula y la primera columna también. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2 \neq 0$$ Por tanto, si $m = 1$, el **rango(A) = 2**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0 \text{ y } m = 1}$$

**b) [0’75 puntos] Para $m = 1$, determina $A^{2015}$.** Sustituimos $m = 1$ en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos las potencias sucesivas de $A$ para buscar un patrón o ver si es una matriz nilpotente: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices, el elemento $c_{ij}$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Calculamos ahora $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O$$ Como $A^3$ es la matriz nula ($O$), cualquier potencia superior también será la matriz nula: $$A^n = O \quad \text{para todo } n \ge 3$$ Dado que $2015 \gt 3$, concluimos que: $$A^{2015} = O$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2015} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$