Área del recinto limitado por el valor absoluto de un logaritmo

**b) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con la recta $y = 1$.** (Resolvemos primero el apartado b para facilitar el esbozo solicitado en el apartado a). Para hallar los puntos de corte entre $f(x) = |\ln(x)|$ y la recta $y = 1$, igualamos ambas expresiones: $$|\ln(x)| = 1$$ Esto genera dos ecuaciones posibles debido a la definición de valor absoluto: 1. $\ln(x) = 1 \implies x = e^1 = e$ 2. $\ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ Los puntos de corte son: $$\boxed{P_1\left(\frac{1}{e}, 1\right) \text{ y } P_2(e, 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la definición de $|x|=a$ con $a>0$ implica $x=a$ o $x=-a$.

**a) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = 1$.** La función $f(x) = |\ln(x)|$ se define a trozos como: $$f(x)=\begin{cases} -\ln(x) & \text{si } 0 < x \le 1,\\ \ln(x) & \text{si } x > 1. \end{cases}$$ - La gráfica de $\ln(x)$ es creciente y corta al eje $X$ en $(1,0)$. - Al aplicar el valor absoluto, la parte negativa (donde $0 < x < 1$) se refleja respecto al eje $X$. - El recinto está acotado superiormente por la recta horizontal $y=1$ y por debajo por las dos ramas del logaritmo entre los puntos $x = 1/e$ y $x = e$.

**c) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto citado.** El área $A$ se encuentra entre la recta $y=1$ (función superior) y $f(x)$ (función inferior) desde $x = 1/e$ hasta $x = e$. Debido a la definición de la función en $x=1$, dividimos la integral en dos partes: $$A = \int_{1/e}^{e} (1 - |\ln(x)|) \, dx = \int_{1/e}^{1} (1 - (-\ln(x))) \, dx + \int_{1}^{e} (1 - \ln(x)) \, dx$$ Simplificando los signos: $$A = \int_{1/e}^{1} (1 + \ln(x)) \, dx + \int_{1}^{e} (1 - \ln(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que una función tenga un valor absoluto o esté definida a trozos dentro del intervalo de integración, debemos dividir la integral en los puntos de cambio de rama.

Para resolver las integrales, recordamos la primitiva de $\ln(x)$ mediante integración por partes: $$\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x + C$$ Usando esto, calculamos las primitivas de nuestras dos funciones: 1. $\int (1 + \ln(x)) \, dx = x + (x\ln(x) - x) = x\ln(x)$ 2. $\int (1 - \ln(x)) \, dx = x - (x\ln(x) - x) = 2x - x\ln(x)$

Calculamos cada área parcial aplicando la Regla de Barrow: Para $A_1$ en $[1/e, 1]$: $$A_1 = [x\ln(x)]_{1/e}^{1} = (1\ln(1)) - \left(\frac{1}{e}\ln\left(\frac{1}{e}\right)\right)$$ Como $\ln(1) = 0$ y $\ln(1/e) = -1$: $$A_1 = 0 - \left(\frac{1}{e} \cdot (-1)\right) = \frac{1}{e} \text{ u}^2$$ Para $A_2$ en $[1, e]$: $$A_2 = [2x - x\ln(x)]_{1}^{e} = (2e - e\ln(e)) - (2(1) - 1\ln(1))$$ Como $\ln(e) = 1$ y $\ln(1) = 0$: $$A_2 = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2 \text{ u}^2$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{e} + e - 2$$ Calculando el valor aproximado: $$A \approx 0.3678 + 2.7182 - 2 \approx 1.086 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = e + \frac{1}{e} - 2 \text{ u}^2}$$