Cálculo de parámetros para la continuidad usando la regla de L'Hôpital

Para que la función $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$, debe serlo especialmente en el punto de salto entre ramas, $x = 0$. La condición de continuidad en $x = 0$ exige que el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$ coincida con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ De la definición de la función tenemos que: 1. El valor de la función es $f(0) = b$. 2. El límite a calcular es: $$\lim_{x \to 0} \frac{x + \cos(x) - a e^x}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto $x=c$ si existe el límite, existe la función y ambos coinciden: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Analizamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x + \cos(x) - a e^x}{x^2}$$ Al sustituir $x = 0$, el denominador es $0^2 = 0$. Para que el límite sea un número finito (en este caso $b$), el numerador también debe tender a $0$ en $x = 0$, de lo contrario el límite sería infinito (forma $\frac{k}{0}$). Calculamos el límite del numerador: $$\lim_{x \to 0} (x + \cos(x) - a e^x) = 0 + \cos(0) - a e^0 = 1 - a$$ Para que exista una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que pueda dar un resultado finito, imponemos: $$1 - a = 0 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = 1}$$

Con $a = 1$, el límite presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x + \cos(x) - e^x}{x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x + \cos(x) - e^x)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin(x) - e^x}{2x}$$ Comprobamos de nuevo el límite en $x = 0$: $$\frac{1 - \sin(0) - e^0}{2(0)} = \frac{1 - 0 - 1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como persiste la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \sin(x) - e^x)}{\frac{d}{dx}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x) - e^x}{2}$$ Ahora evaluamos el límite final: $$\frac{-\cos(0) - e^0}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Como la condición de continuidad era $\lim_{x \to 0} f(x) = b$, entonces: $$b = -1$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que estemos ante una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -1}$$