Discusión de un sistema homogéneo

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores de $\lambda$.** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo**, lo que significa que siempre es compatible (admite al menos la solución trivial $x=0, y=0, z=0$). Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & \lambda & \lambda \\ \lambda & 2 & 2 \\ \lambda & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & \lambda & \lambda & 0 \\ \lambda & 2 & 2 & 0 \\ \lambda & 2 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Como el sistema es homogéneo, el rango de $A$ siempre será igual al rango de $A^*$. La discusión dependerá de si el determinante de $A$ es nulo o no. 💡 **Tip:** En los sistemas homogéneos, si $|A| \neq 0$, el sistema es Compatible Determinado y solo tiene la solución $(0,0,0)$. Si $|A| = 0$, es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & \lambda & \lambda \\ \lambda & 2 & 2 \\ \lambda & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [\lambda \cdot 2 \cdot 1 + \lambda \cdot 2 \cdot \lambda + \lambda \cdot 2 \cdot \lambda] - [\lambda \cdot 2 \cdot \lambda + 2 \cdot 2 \cdot \lambda + 1 \cdot \lambda \cdot \lambda]$$ $$|A| = [2\lambda + 2\lambda^2 + 2\lambda^2] - [2\lambda^2 + 4\lambda + \lambda^2]$$ $$|A| = (4\lambda^2 + 2\lambda) - (3\lambda^2 + 4\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0$$ Las soluciones son **$\lambda = 0$** y **$\lambda = 2$**. $$\boxed{|A| = \lambda^2 - 2\lambda}$$

Analizamos los casos según el valor de $\lambda$: **Caso 1: $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el $\text{rango}(A) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**. Al ser un sistema homogéneo, su única solución es la solución trivial: $(0,0,0)$. **Caso 2: $\lambda = 0$** La matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0$$ Entonces, $\text{rango}(A) = 2$. Como el rango es menor que el número de incógnitas ($2 < 3$), el sistema es **Compatible Indeterminado**. **Caso 3: $\lambda = 2$** La matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Las dos primeras filas son iguales, por lo que el determinante es $0$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0$$ Entonces, $\text{rango}(A) = 2$. Como $2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 0, 2: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ \lambda = 0: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \\ \lambda = 2: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de $\lambda$ para los que el sistema tiene alguna solución en la que $z \neq 0$.** Para que exista una solución distinta de la trivial (donde $z$ podría ser distinto de cero), el sistema debe ser **Compatible Indeterminado**. Esto ocurre para $\lambda = 0$ y $\lambda = 2$. Analicemos las ecuaciones del sistema original: (1) $\lambda x + \lambda y + \lambda z = 0$ (2) $\lambda x + 2y + 2z = 0$ (3) $\lambda x + 2y + z = 0$ Si restamos la ecuación (3) a la ecuación (2): $$(\lambda x + 2y + 2z) - (\lambda x + 2y + z) = 0 - 0$$ $$z = 0$$ Esto nos indica que, independientemente del valor de $\lambda$ y de los valores de $x$ e $y$, para que las ecuaciones (2) y (3) se cumplan simultáneamente, la variable $z$ **debe ser obligatoriamente 0**. 💡 **Tip:** Si una combinación lineal de las ecuaciones da como resultado una variable igual a una constante, esa variable está fijada para cualquier solución del sistema.

Como hemos demostrado que en cualquier solución del sistema se debe cumplir que $z = 0$, no es posible encontrar ningún valor de $\lambda$ que permita una solución con $z \neq 0$. Incluso en los casos de indeterminación: - Para $\lambda = 0$, el sistema es $\{2y+2z=0, 2y+z=0\}$, lo que implica $y=0$ y $z=0$, siendo $x$ cualquier valor. Soluciones: $(x, 0, 0)$. - Para $\lambda = 2$, el sistema es $\{2x+2y+2z=0, 2x+2y+z=0\}$. Restando obtenemos $z=0$, y sustituyendo $x+y=0 \implies y=-x$. Soluciones: $(x, -x, 0)$. En todos los casos, $z$ es siempre $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } \lambda \text{ para el cual } z \neq 0}$$