Cálculo de un parámetro para un área determinada

El recinto está limitado por: 1. La función $g(x) = \ln(x)$. 2. El eje de abscisas, que es la recta $y = 0$. 3. La recta vertical $x = a$. Para determinar el intervalo de integración, buscamos primero el punto de corte de la función con el eje de abscisas: $$\ln(x) = 0 \implies x = e^0 = 1.$$ Como se nos indica que $a > 1$, el recinto se encuentra en el intervalo $[1, a]$. En este intervalo, la función logaritmo es positiva, por lo que el área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{1}^{a} \ln(x) \, dx = 1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el logaritmo neperiano se anula en $x=1$ y es positivo para valores mayores que 1.

Para resolver la integral $\int \ln(x) \, dx$, utilizamos el método de **integración por partes**. Elegimos: - $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x + C.$$ 💡 **Tip:** La regla mnemotécnica 'ALPES' nos ayuda a elegir $u$: (A)rcos, (L)ogaritmos, (P)olinomios, (E)xponenciales, (S)enos/Cosenos. Aquí la 'L' de logaritmo tiene prioridad.

Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[1, a]$ e igualamos el resultado a 1, tal como indica el enunciado: $$A = \left[ x \ln(x) - x \right]_{1}^{a} = 1$$ Sustituimos los límites superior e inferior: $$(a \ln(a) - a) - (1 \ln(1) - 1) = 1$$ Como $\ln(1) = 0$, simplificamos la expresión: $$(a \ln(a) - a) - (0 - 1) = 1$$ $$a \ln(a) - a + 1 = 1$$ 💡 **Tip:** No olvides que $\ln(1) = 0$, un error común es pensar que es 1.

Partimos de la ecuación simplificada del paso anterior: $$a \ln(a) - a + 1 = 1$$ Restamos 1 en ambos lados: $$a \ln(a) - a = 0$$ Factorizamos $a$: $$a(\ln(a) - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $a = 0$: No es válida ya que el dominio de la función es $x > 0$ y se nos pide $a > 1$. 2. $\ln(a) - 1 = 0 \implies \ln(a) = 1 \implies a = e^1 = e.$ Dado que $e \approx 2.718$, se cumple la condición $a > 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = e}$$