Derivabilidad de una función a trozos con parámetros

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Analizamos la continuidad en $x = 0$, que es donde la función cambia de rama. La función es continua en $x=0$ si se cumple que: $$\lim_{x o 0^-} f(x) = \lim_{x o 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \lt 0$): $$\lim_{x o 0^-} (a \cos(x) + 2x) = a \cos(0) + 2(0) = a(1) + 0 = a$$ - Límite por la derecha y valor en el punto ($x \geq 0$): $$\lim_{x o 0^+} \left( a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} \right) = a^2 \ln(1) + \frac{b}{1} = a^2(0) + b = b$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$\boxed{a = b}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(0) = 1$ y $\ln(1) = 0$.

Calculamos la derivada de la función en las regiones $x \lt 0$ y $x \gt 0$ aplicando las reglas de derivación básicas: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = (a \cos(x) + 2x)' = -a \sin(x) + 2$ - Para $x \gt 0$: Usamos la regla de la cadena para el logaritmo y la derivada de un cociente (o potencia negativa) para la fracción: $$f'(x) = \left( a^2 \ln(x + 1) + b(x + 1)^{-1} \right)' = a^2 \frac{1}{x + 1} - b(x + 1)^{-2} = \frac{a^2}{x + 1} - \frac{b}{(x + 1)^2}$$ Por tanto, la función derivada para $x \neq 0$ es: $$f'(x) = \begin{cases} -a \sin(x) + 2 & \text{si } x < 0 \\ \frac{a^2}{x + 1} - \frac{b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\ln(u)$ es $u'/u$ y la derivada de $1/u$ es $-u'/u^2$.

Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben coincidir: $$f'(0^-) = f'(0^+)$$ Calculamos los límites de la derivada: - Derivada lateral izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x o 0^-} (-a \sin(x) + 2) = -a \sin(0) + 2 = 2$$ - Derivada lateral derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x o 0^+} \left( \frac{a^2}{x + 1} - \frac{b}{(x + 1)^2} \right) = \frac{a^2}{1} - \frac{b}{1} = a^2 - b$$ Igualamos las derivadas laterales: $$\boxed{a^2 - b = 2}$$ 💡 **Tip:** Una función es derivable en un punto si es continua y sus derivadas laterales existen y son iguales (no hay picos).

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones obtenido de las condiciones de continuidad y derivabilidad: 1. $a = b$ 2. $a^2 - b = 2$ Sustituimos la primera ecuación en la segunda: $$a^2 - a = 2 \implies a^2 - a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores para $a$: - $a_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ - $a_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ Calculamos los valores de $b$ correspondientes usando $b = a$: - Si $a = 2 \implies b = 2$ - Si $a = -1 \implies b = -1$ El enunciado impone la condición **$b > 0$**, por lo que descartamos la solución $b = -1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = 2}$$