Geometría en el espacio: Plano perpendicular y punto simétrico

**a) [1’25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$.** Para hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, necesitamos el vector director de dicha recta, que actuará como vector normal del plano. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Sus vectores normales son $\vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -1)$. El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-1) \cdot (-1) \cdot \vec{i} + 0 \cdot 0 \cdot \vec{j} + 2 \cdot 1 \cdot \vec{k}] - [0 \cdot (-1) \cdot \vec{k} + 1 \cdot 0 \cdot \vec{i} + (-1) \cdot 2 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (1) \vec{i} + (2) \vec{k} - (-2) \vec{j} = (1, 2, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal será $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 2, 2)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$1x + 2y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(-3, 1, 6)$: $$1(-3) + 2(1) + 2(6) + D = 0$$ $$-3 + 2 + 12 + D = 0 \implies 11 + D = 0 \implies D = -11$$ La ecuación del plano buscado es: $$\boxed{x + 2y + 2z - 11 = 0}$$

**b) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$.** Para hallar el simétrico de $P$ respecto a una recta, seguiremos estos pasos: 1. Usar el plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ (calculado en el apartado anterior). 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. 3. $M$ será el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Primero, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. Necesitamos un punto de la recta. Si hacemos $y = 1$ en las ecuaciones de $r$: $$2x - 1 - 5 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ $$1 - z + 2 = 0 \implies z = 3$$ El punto $Q(3, 1, 3)$ pertenece a $r$. Usando el vector $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$, las paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: x + 2y + 2z - 11 = 0$: $$(3 + \lambda) + 2(1 + 2\lambda) + 2(3 + 2\lambda) - 11 = 0$$ $$3 + \lambda + 2 + 4\lambda + 6 + 4\lambda - 11 = 0$$ $$9\lambda + 11 - 11 = 0 \implies 9\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las paramétricas de $r$, obtenemos el punto de intersección $M$: $$\boxed{M(3, 1, 3)}$$

El punto $M(3, 1, 3)$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el simétrico buscado $P'(x', y', z')$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x' = 2(3) - (-3) = 6 + 3 = 9$$ $$y' = 2(1) - (1) = 2 - 1 = 1$$ $$z' = 2(3) - (6) = 6 - 6 = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar que el vector $\vec{PM}$ es igual al vector $\vec{MP'}$ para verificar que $M$ es el centro de la simetría. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(9, 1, 0)}$$