Ecuación matricial con inversa

Para hallar $X$, primero debemos aislarla en la ecuación dada: $AXA^{-1} + B = CA^{-1}$. 1. Restamos $B$ en ambos miembros: $$AXA^{-1} = CA^{-1} - B$$ 2. Para eliminar la matriz $A^{-1}$ de la derecha del primer miembro, multiplicamos por $A$ por la derecha en ambos lados de la igualdad (recordando que el producto de matrices no es conmutativo): $$(AXA^{-1})A = (CA^{-1} - B)A$$ $$AX(A^{-1}A) = CA^{-1}A - BA$$ $$AXI = C - BA$$ $$AX = C - BA$$ 3. Finalmente, para despejar $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(C - BA)$$ $$IX = A^{-1}(C - BA)$$ $$X = A^{-1}(C - BA)$$ 💡 **Tip:** Es mucho más eficiente despejar de esta forma, ya que el enunciado nos proporciona directamente el producto $BA$, lo que nos ahorra tener que calcular la matriz $B$ por separado. $$\boxed{X = A^{-1}(C - BA)}$$

Calculamos la resta de las matrices $C$ y $BA$ que aparecen en el paréntesis: $$C - BA = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos la operación elemento a elemento: $$C - BA = \begin{pmatrix} 1-1 & -1-1 & 2-0 \\ 0-1 & 0-1 & -1-(-1) \\ 1-(-1) & 0-(-5) & -1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $M$: $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. **1. Determinante de $A$ (por Sarrus):** $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (0) + (0) + (0) - [ (0) + (0) + (1) ] = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. **2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$:** Calculamos los adjuntos de cada elemento: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -4 - (-3) = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ **3. Inversa de $A$:** $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot M$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Fila 1: $(3\cdot 0) + (-1\cdot -1) + (0\cdot 2) = 1$; $(3\cdot -2) + (-1\cdot -1) + (0\cdot 5) = -5$; $(3\cdot 2) + (-1\cdot 0) + (0\cdot 2) = 6$ - Fila 2: $(-1\cdot 0) + (0\cdot -1) + (0\cdot 2) = 0$; $(-1\cdot -2) + (0\cdot -1) + (0\cdot 5) = 2$; $(-1\cdot 2) + (0\cdot 0) + (0\cdot 2) = -2$ - Fila 3: $(1\cdot 0) + (1\cdot -1) + (1\cdot 2) = 1$; $(1\cdot -2) + (1\cdot -1) + (1\cdot 5) = 2$; $(1\cdot 2) + (1\cdot 0) + (1\cdot 2) = 4$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 6 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}}$$