Cálculo de una integral indefinida mediante cambio de variable

Para resolver la integral, utilizaremos la sugerencia dada en el enunciado realizando el cambio de variable $t = \sqrt{x + 2}$. Primero, expresamos $x$ y el diferencial $dx$ en función de $t$: 1. Elevamos al cuadrado para despejar $x$: $$t^2 = x + 2 \implies x = t^2 - 2$$ 2. Diferenciamos en ambos lados: $$dx = 2t \, dt$$ También necesitamos expresar el término $(x - 2)$ en función de $t$: $$x - 2 = (t^2 - 2) - 2 = t^2 - 4$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable del tipo $\sqrt{f(x)} = t$, es mucho más sencillo despejar $x$ y luego derivar para obtener $dx$ que derivar directamente la raíz.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la integral original: $$\int \frac{dx}{(x - 2)\sqrt{x + 2}} = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 - 4) \cdot t}$$ Simplificamos la expresión cancelando la $t$ en el numerador y el denominador: $$\int \frac{2 \cancel{t}}{(t^2 - 4) \cancel{t}} dt = \int \frac{2}{t^2 - 4} dt$$ Ahora nos enfrentamos a una integral racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Procederemos mediante la descomposición en fracciones simples. $$\boxed{\int \frac{2}{t^2 - 4} dt}$$

El denominador es una diferencia de cuadrados: $t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)$. Descomponemos la fracción: $$\frac{2}{(t - 2)(t + 2)} = \frac{A}{t - 2} + \frac{B}{t + 2}$$ Multiplicamos por el denominador común para hallar los coeficientes $A$ y $B$: $$2 = A(t + 2) + B(t - 2)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dándole valores a $t$: - Si $t = 2$: $2 = A(4) + B(0) \implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$ - Si $t = -2$: $2 = A(0) + B(-4) \implies -4B = 2 \implies B = -\frac{1}{2}$ Por tanto: $$\frac{2}{t^2 - 4} = \frac{1/2}{t - 2} - \frac{1/2}{t + 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar $\frac{1}{ax+b}$ el resultado es $\frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$.

Sustituimos la descomposición en la integral y resolvemos: $$\int \left( \frac{1/2}{t - 2} - \frac{1/2}{t + 2} \right) dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t - 2} dt - \frac{1}{2} \int \frac{1}{t + 2} dt$$ Integrando directamente: $$\frac{1}{2} \ln|t - 2| - \frac{1}{2} \ln|t + 2| + C$$ Podemos simplificar usando la propiedad de la resta de logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$): $$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{t - 2}{t + 2} \right| + C$$ $$\boxed{\frac{1}{2} \ln \left| \frac{t - 2}{t + 2} \right| + C}$$

Finalmente, debemos deshacer el cambio de variable inicial, sustituyendo $t$ por $\sqrt{x + 2}$: Como $t = \sqrt{x + 2}$, el resultado final es: $$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} \right| + C$$ Cabe destacar que el dominio de la función original requiere que $x+2 > 0$ y $x \neq 2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{dx}{(x - 2)\sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} \right| + C}$$