Optimización del área de un campo rectangular con costes de vallado desiguales

Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir las dimensiones del campo rectangular. Llamamos: - $x$: Longitud del lado del rectángulo que es paralelo al camino (en metros). - $y$: Longitud de los lados del rectángulo que son perpendiculares al camino (en metros). Visualmente, tenemos un lado de longitud $x$ pegado al camino (coste 80 €/m). El lado opuesto a este también mide $x$, pero su coste es de 10 €/m. Los otros dos lados miden $y$ y su coste es de 10 €/m cada uno. 💡 **Tip:** En problemas de geometría, realizar un pequeño esquema ayuda a no olvidar ningún lado al calcular perímetros o costes.

El enunciado nos indica que el presupuesto total es de $28\,800$ euros. Calculamos el coste total de la valla sumando el precio de cada lado: - Lado junto al camino: $80 \cdot x$ - Lado opuesto al camino: $10 \cdot x$ - Dos lados laterales: $2 \cdot (10 \cdot y) = 20y$ La ecuación de restricción es: $$80x + 10x + 20y = 28\,800$$ Simplificamos la expresión: $$90x + 20y = 28\,800$$ Podemos dividir toda la ecuación entre $10$ para trabajar con números más sencillos: $$9x + 2y = 2\,880$$ Despejamos una de las variables (por ejemplo, la $y$): $$2y = 2\,880 - 9x \implies y = \frac{2\,880 - 9x}{2} = 1\,440 - 4.5x$$ Como las dimensiones deben ser positivas: - $x \gt 0$ - $y \gt 0 \implies 1\,440 - 4.5x \gt 0 \implies x \lt \frac{1\,440}{4.5} = 320$ Por tanto, el dominio de nuestra función será $x \in (0, 320)$.

Queremos maximizar el área del campo rectangular. La fórmula del área es: $$A = x \cdot y$$ Sustituimos el valor de $y$ que hemos despejado anteriormente para obtener la función área dependiendo solo de $x$: $$A(x) = x \cdot (1\,440 - 4.5x)$$ $$A(x) = 1\,440x - 4.5x^2$$ Esta es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola invertida, por lo que su máximo coincidirá con el vértice (donde la derivada es cero). 💡 **Tip:** Siempre intenta expresar la función a optimizar en términos de una sola variable usando la ecuación de restricción.

Para hallar el máximo, derivamos la función $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = (1\,440x - 4.5x^2)' = 1\,440 - 9x$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$1\,440 - 9x = 0 \implies 9x = 1\,440 \implies x = \frac{1\,440}{9} = 160$$ El valor crítico obtenido es **$x = 160$ metros**. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "A(x) = 1440x - 4.5x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "p", "latex": "(160, A(160))", "showLabel": true, "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -20, "right": 350, "bottom": -10000, "top": 130000 } } }

Para asegurar que $x = 160$ es efectivamente un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = (1\,440 - 9x)' = -9$$ Como $A''(160) = -9 \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 160$. También podemos observar el signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 160) & 160 & (160, 320) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \\\hline A(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $160$ y decrece después, confirmamos el máximo. 💡 **Tip:** En problemas de selectividad es obligatorio justificar que el punto hallado es un máximo (o mínimo) usando la segunda derivada o el estudio de la monotonía.

Una vez hallado $x = 160$, calculamos el valor de $y$ sustituyendo en la expresión despejada en el paso 2: $$y = 1\,440 - 4.5(160)$$ $$y = 1\,440 - 720 = 720$$ Por tanto, las dimensiones del campo para que el área sea máxima son: - Lado paralelo al camino: **$160$ metros**. - Lados perpendiculares al camino: **$720$ metros**. El área máxima obtenida sería $A = 160 \cdot 720 = 115\,200 \text{ m}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 160 \text{ m (paralelo al camino) y } 720 \text{ m (perpendiculares al camino)}} $$