Simetría de punto y recta respecto a un plano

**a) [1’5 puntos] Calcula el punto $P'$, simétrico del punto $P(2, -1, 5)$ respecto del plano $\pi$.** Para hallar el simétrico de un punto $P$ respecto a un plano, primero debemos trazar una recta $s$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector normal del plano $\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0$ es: $$\vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$$ Como la recta $s$ es perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_s$ será el mismo que el vector normal del plano: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$$ La ecuación paramétrica de la recta $s$ que pasa por $P(2, -1, 5)$ es: $$s \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 5 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $(A, B, C)$.

El punto $M$ es la intersección entre la recta $s$ y el plano $\pi$. Este punto será el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Sustituimos las coordenadas genéricas de $s$ en la ecuación del plano: $$2(2 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) - (5 - \lambda) + 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$4 + 4\lambda - 1 + \lambda - 5 + \lambda + 8 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $s$ para obtener $M$: $$x_M = 2 + 2(-1) = 0$$ $$y_M = -1 + (-1) = -2$$ $$z_M = 5 - (-1) = 6$$ Por tanto, el punto de intersección es **$M(0, -2, 6)$**.

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple la relación vectorial: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'(x', y', z')$: $$x' = 2(0) - 2 = -2$$ $$y' = 2(-2) - (-1) = -4 + 1 = -3$$ $$z' = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(-2, -3, 7)}$$

**b) [1 punto] Calcula la recta $r'$, simétrica de la recta $r \equiv \frac{x - 2}{-2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 5}{1}$ respecto del plano $\pi$.** Observamos la recta $r$. Un punto de esta recta es el punto $A(2, -1, 5)$, que coincide exactamente con el punto $P$ del apartado anterior. Como $P$ pertenece a la recta $r$, su simétrico $P'(-2, -3, 7)$ pertenecerá a la recta simétrica $r'$. Para determinar una recta en el espacio necesitamos dos puntos o un punto y un vector. Ya tenemos un punto ($P'$). El segundo punto ideal es el punto donde la recta $r$ corta al plano $\pi$, ya que este punto de intersección $I$ es invariante por simetría (es su propio simétrico) y por tanto también pertenecerá a $r'$. 💡 **Tip:** Si una recta corta a un plano en un punto $I$, su simétrica pasará obligatoriamente por ese mismo punto $I$.

Escribimos la recta $r$ en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - 2\mu \\ y = -1 + 3\mu \\ z = 5 + \mu \end{cases}$$ Buscamos el punto $I$ sustituyendo en la ecuación del plano $\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0$: $$2(2 - 2\mu) + (-1 + 3\mu) - (5 + \mu) + 8 = 0$$ $$4 - 4\mu - 1 + 3\mu - 5 - \mu + 8 = 0$$ $$-2\mu + 6 = 0 \implies 2\mu = 6 \implies \mu = 3$$ Calculamos las coordenadas de $I$ sustituyendo $\mu = 3$ en $r$: $$x_I = 2 - 2(3) = -4$$ $$y_I = -1 + 3(3) = 8$$ $$z_I = 5 + (3) = 8$$ El punto de intersección es **$I(-4, 8, 8)$**.

La recta simétrica $r'$ pasa por los puntos $P'(-2, -3, 7)$ e $I(-4, 8, 8)$. Obtenemos el vector director de $r'$: $$\vec{v}_{r'} = \vec{IP'} = P' - I = (-2 - (-4), -3 - 8, 7 - 8) = (2, -11, -1)$$ Usando el punto $P'(-2, -3, 7)$ y el vector $\vec{v}_{r'} = (2, -11, -1)$, la ecuación continua de la recta $r'$ es: $$r' \equiv \frac{x - (-2)}{2} = \frac{y - (-3)}{-11} = \frac{z - 7}{-1}$$ ✅ **Resultado (recta simétrica):** $$\boxed{r' \equiv \frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{-11} = \frac{z - 7}{-1}}$$