Rango y determinantes de matrices con parámetros

**a) [1’5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de $m$ para los que $A$ y $B$ tienen el mismo rango.** Analizamos el rango de $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix}$ calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m \end{vmatrix} = (-1) \cdot m - 2 \cdot 2 = -m - 4.$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-m - 4 = 0 \implies m = -4.$$ - Si **$m \neq -4$**, el determinante es distinto de cero, por lo que el rango de $A$ es el máximo posible: **$rg(A) = 2$**. - Si **$m = -4$**, el determinante es cero. Como la matriz tiene elementos distintos de cero, **$rg(A) = 1$**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. En matrices $2 \times 2$, si el determinante es cero y hay algún elemento no nulo, el rango es 1.

Analizamos ahora la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$|B| = m \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & m \end{vmatrix} = m \cdot (m - (-4)) = m(m + 4) = m^2 + 4m.$$ Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$m(m + 4) = 0 \implies m = 0 \text{ y } m = -4.$$ - Si **$m \neq 0$ y $m \neq -4$**, el determinante $|B| \neq 0$, por lo que **$rg(B) = 3$**. - Si **$m = 0$**, $|B| = 0$. La matriz queda: $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$, por lo que **$rg(B) = 2$**. - Si **$m = -4$**, $|B| = 0$. La matriz queda: $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \\ 3 & 2 & -4 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -4 - (-12) = 8 \neq 0$, por lo que **$rg(B) = 2$**. 💡 **Tip:** Para calcular determinantes $3 \times 3$, busca siempre la fila o columna con más ceros para facilitar el desarrollo por adjuntos.

Para que $rg(A) = rg(B)$, comparamos los casos obtenidos: 1. Si **$m = 0$**: $rg(A) = 2$ (ya que $0 \neq -4$) y $rg(B) = 2$. **Coinciden**. 2. Si **$m = -4$**: $rg(A) = 1$ y $rg(B) = 2$. **No coinciden**. 3. Si **$m \neq 0$ y $m \neq -4$**: $rg(A) = 2$ y $rg(B) = 3$. **No coinciden**. Por lo tanto, el único valor que satisface la condición es $m = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0}$$

**b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de $m$ para los que $A$ y $B$ tienen el mismo determinante.** Utilizamos las expresiones de los determinantes calculadas anteriormente: - $|A| = -m - 4$ - $|B| = m^2 + 4m$ Igualamos ambos resultados: $$-m - 4 = m^2 + 4m$$ Reorganizamos la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$m^2 + 5m + 4 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver $ax^2 + bx + c = 0$, usamos la fórmula $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Resolvemos la ecuación $m^2 + 5m + 4 = 0$: $$m = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $m_1 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ 2. $m_2 = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -1, \quad m = -4}$$