Determinación de una función a partir de su segunda derivada

Para determinar la función $f(x)$, debemos integrar sucesivamente su segunda derivada $f''(x) = \ln(x)$. Además, el enunciado nos aporta dos condiciones fundamentales: 1. **Tangente horizontal en el punto $P(1, 2)$**: Esto implica que la derivada primera en ese punto es cero, es decir, $f'(1) = 0$. 2. **Pasa por el punto $P(1, 2)$**: Esto significa que la función evaluada en $x=1$ debe valer $2$, es decir, $f(1) = 2$. 💡 **Tip:** Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es nula. Dado que la pendiente de la recta tangente en un punto $x=a$ es $f'(a)$, la condición de horizontalidad se traduce siempre en $f'(a) = 0$.

Obtenemos $f'(x)$ integrando $f''(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int \ln(x) \, dx.$$ Para resolver esta integral, utilizamos el método de **integración por partes**: Sea $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ Sea $dv = dx \implies v = x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x + C_1.$$ Por lo tanto: $$f'(x) = x \ln(x) - x + C_1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$ en la integración por partes. Las funciones **L**ogarítmicas tienen prioridad sobre las **P**olinómicas.

Usamos la condición de tangente horizontal en $x=1$, es decir, $f'(1) = 0$: $$f'(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 + C_1 = 0.$$ Como $\ln(1) = 0$: $$0 - 1 + C_1 = 0 \implies C_1 = 1.$$ Sustituyendo el valor de $C_1$, la expresión de la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = x \ln(x) - x + 1}$$

Obtenemos $f(x)$ integrando $f'(x)$: $$f(x) = \int (x \ln(x) - x + 1) \, dx = \int x \ln(x) \, dx - \int x \, dx + \int 1 \, dx.$$ Calculamos $\int x \ln(x) \, dx$ por partes: Sea $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ Sea $dv = x \, dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}$ $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4}.$$ Ahora integramos el resto de la expresión: $$f(x) = \left( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right) - \frac{x^2}{2} + x + C_2.$$ Simplificamos sumando los términos de $x^2$ (donde $-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4}$): $$f(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{3x^2}{4} + x + C_2.$$ 💡 **Tip:** Al integrar un sumatorio de funciones, puedes integrar cada término por separado. No olvides añadir la constante de integración al final.

Usamos la condición de que la gráfica pasa por el punto $P(1, 2)$, es decir, $f(1) = 2$: $$f(1) = \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{3 \cdot 1^2}{4} + 1 + C_2 = 2.$$ Como $\ln(1) = 0$: $$0 - \frac{3}{4} + 1 + C_2 = 2 \implies \frac{1}{4} + C_2 = 2 \implies C_2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}.$$ Sustituimos $C_2$ en la expresión de $f(x)$ para obtener la solución definitiva: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{3x^2}{4} + x + \frac{7}{4}}$$