Cálculo de parámetros en un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para resolver este ejercicio, empezamos evaluando el límite cuando $x$ tiende a $0$ en la expresión dada: $$\lim_{x\to0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\text{sen }(x^2)}$$ Sustituimos $x = 0$: - Numerador: $a(0)^2 + b(0) + 1 - \cos(0) = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$ - Denominador: $\text{sen}(0^2) = 0$ Obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$. Según el enunciado, el límite es finito e igual a uno, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando obtenemos formas indeterminadas del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: $$\lim_{x\to0} \frac{\frac{d}{dx}(ax^2 + bx + 1 - \cos(x))}{\frac{d}{dx}(\text{sen }(x^2))} = \lim_{x\to0} \frac{2ax + b + \text{sen }(x)}{2x \cos(x^2)}$$ Si evaluamos ahora el límite cuando $x \to 0$: - Denominador: $2(0) \cos(0^2) = 0$ - Numerador: $2a(0) + b + \text{sen}(0) = b$ Para que el límite sea **finito** (tal como indica el enunciado), el numerador también debe ser $0$ cuando $x \to 0$. Si $b$ fuera distinto de cero, el límite resultaría en $\pm \infty$. Por tanto, imponemos la condición: $$b = 0$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = 0}$$ 💡 **Tip:** Si en un límite el denominador tiende a $0$ y sabemos que el resultado es un número real, el numerador obligatoriamente debe tender a $0$ para evitar que el límite diverja.

Sustituimos $b = 0$ en el límite obtenido tras la primera derivación: $$\lim_{x\to0} \frac{2ax + \text{sen }(x)}{2x \cos(x^2)}$$ Al evaluar en $x=0$, volvemos a tener la indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **regla de L'Hôpital por segunda vez**: Derivada del numerador: $2a + \cos(x)$ Derivada del denominador (usando la regla del producto y la cadena): $$(2x \cos(x^2))' = 2 \cos(x^2) + 2x(-\text{sen}(x^2) \cdot 2x) = 2 \cos(x^2) - 4x^2 \text{sen}(x^2)$$ Planteamos el nuevo límite: $$\lim_{x\to0} \frac{2a + \cos(x)}{2 \cos(x^2) - 4x^2 \text{sen}(x^2)}$$ Evaluamos el límite cuando $x \to 0$: $$\frac{2a + \cos(0)}{2 \cos(0) - 4(0)^2 \text{sen}(0)} = \frac{2a + 1}{2 - 0} = \frac{2a + 1}{2}$$

El enunciado establece que el valor del límite es igual a $1$. Igualamos el resultado obtenido al valor dado: $$\frac{2a + 1}{2} = 1$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$2a + 1 = 2 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ Por lo tanto, los valores buscados son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = 0}$$