Puntos coplanarios, simetría y área en el espacio

**a) [0’75 puntos] Calcula $m$ para que $A, B, C$ y $D$ estén en un mismo plano.** Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios si los vectores formados a partir de ellos, por ejemplo $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$, son linealmente dependientes. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz formada por dichos vectores es igual a cero. Primero, calculamos los vectores: - $\vec{AB} = B - A = (2-0, 1-1, 3-1) = (2, 0, 2)$ - $\vec{AC} = C - A = (-1-0, 2-1, 0-1) = (-1, 1, -1)$ - $\vec{AD} = D - A = (2-0, 1-1, m-1) = (2, 0, m-1)$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es cero: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.

Planteamos el determinante y lo igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & m-1 \\ \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus (o por la segunda columna, que tiene ceros): $$2 \cdot 1 \cdot (m-1) + 0 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \cdot 0 - (2 \cdot 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) \cdot (m-1) + 2 \cdot (-1) \cdot 0) = 0$$ $$2(m-1) - 4 = 0$$ $$2m - 2 - 4 = 0 \implies 2m = 6 \implies m = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m=3}$$

**b) [0’75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos.** Para que los puntos $A$ y $B$ sean simétricos respecto a un plano $\pi$, este debe ser el **plano mediador** del segmento $AB$. Esto implica dos condiciones: 1. El vector $\vec{AB}$ es normal al plano (perpendicular). 2. El punto medio $M$ del segmento $AB$ pertenece al plano.

Calculamos el vector normal $\vec{n}_{\pi}$: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} = (2, 0, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando uno proporcional: $\vec{v} = (1, 0, 1)$. Calculamos el punto medio $M$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = (1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Un plano con vector normal $(A, B, C)$ tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$.

Sustituimos el vector normal $(1, 0, 1)$ en la ecuación del plano: $$1x + 0y + 1z + D = 0 \implies x + z + D = 0$$ Como $M(1, 1, 2)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1 + 2 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + z - 3 = 0}$$

**c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$.** El área de un triángulo con vértices $A, B, C$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice: $$\text{Área} = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} |$$ Recuperamos los vectores calculados en el apartado (a): - $\vec{AB} = (2, 0, 2)$ - $\vec{AC} = (-1, 1, -1)$

Calculamos el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(-2 - (-2)) + \vec{k}(2 - 0) = -2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-2, 0, 2)$$ Calculamos el módulo: $$| \vec{AB} \times \vec{AC} | = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** El módulo de un vector $(a, b, c)$ es $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Aplicamos la fórmula final: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ u}^2}$$