Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’5 puntos] Discute el sistema según los valores de $\lambda$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & -1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & -\lambda & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para determinar para qué valores de $\lambda$ el rango de $A$ es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [\lambda \cdot 0 \cdot (-\lambda) + 1 \cdot \lambda \cdot 1 + (-1) \cdot \lambda \cdot 1] - [1 \cdot 0 \cdot (-1) + 1 \cdot \lambda \cdot \lambda + (-\lambda) \cdot \lambda \cdot 1]$$ $$|A| = [0 + \lambda - \lambda] - [0 + \lambda^2 - \lambda^2] = 0 - 0 = 0$$ Como el determinante es igual a **$0$ para cualquier valor de $\lambda$**, sabemos que el rango de $A$ siempre será menor que $3$. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es siempre cero, el sistema nunca será un Sistema Compatible Determinado (S.C.D.).

Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$. Consideramos, por ejemplo, el menor formado por las dos últimas filas y las dos primeras columnas: $$\begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \lambda$$ - Si $\lambda \neq 0$, este menor es distinto de cero, luego **$rg(A) = 2$**. - Si $\lambda = 0$, sustituimos en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ En este caso, el menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ nos indica que, incluso para $\lambda = 0$, **$rg(A) = 2$**. Por tanto, **$rg(A) = 2$ para cualquier valor de $\lambda$**.

Para estudiar el rango de $A^*$, analizamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes. Tomamos las columnas 2, 3 y 4: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda & \lambda \\ 1 & -\lambda & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$|M| = [1 \cdot \lambda \cdot 0 + (-1) \cdot \lambda \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \cdot (-\lambda)] - [1 \cdot \lambda \cdot (-1) + (-\lambda) \cdot \lambda \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot (-1)]$$ $$|M| = [0 - \lambda + 0] - [-\lambda - \lambda^2 + 0] = -\lambda + \lambda + \lambda^2 = \lambda^2$$ El determinante del menor es cero si $\lambda^2 = 0 \implies \lambda = 0$.

Analizamos los casos según el valor de $\lambda$: **Caso 1: $\lambda \neq 0$** En este caso, $|M| \neq 0$, por lo que $rg(A^*) = 3$. Como hemos visto que $rg(A) = 2$, se cumple que $rg(A) \neq rg(A^*)$. ✅ **Sistema Incompatible (S.I.)**. **Caso 2: $\lambda = 0$** Si $\lambda = 0$, la segunda fila de $A^*$ es nula $(0, 0, 0, 0)$, por lo que $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = 2$ y el número de incógnitas es $n=3$, tenemos $rg(A) = rg(A^*) \lt n$. ✅ **Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $rg(A) = rg(A^*) = n$, el sistema tiene solución única (S.C.D.). Si $rg(A) = rg(A^*) < n$, tiene infinitas soluciones (S.C.I.). $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 0 \implies \text{S.I.} \\ \lambda = 0 \implies \text{S.C.I.} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Resuelve el sistema para $\lambda = 0$.** Sustituimos $\lambda = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} 0x + y - z = -1 \\ 0x + 0y + 0z = 0 \\ x + y - 0z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y - z = -1 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ Como es un S.C.I. con rango 2 y 3 incógnitas, necesitamos un parámetro. Tomamos $y = \alpha$: 1. De la segunda ecuación: $x + \alpha = 0 \implies x = -\alpha$ 2. De la primera ecuación: $\alpha - z = -1 \implies z = \alpha + 1$ La solución general es: $$\boxed{\begin{cases} x = -\alpha \\ y = \alpha \\ z = 1 + \alpha \end{cases} \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}}$$