Cálculo de una integral racional

Para resolver la integral $\int \frac{-x^2}{x^2 + x - 2} dx$, observamos que el grado del numerador es igual al grado del denominador ($n=2$). En estos casos, el primer paso es realizar la **división de polinomios** para descomponer la fracción. Dividimos $-x^2$ entre $x^2 + x - 2$: $$ \begin{array}{r|l} -x^2 & x^2 + x - 2 \\ \hline -(-x^2 - x + 2) & -1 \\ \hline x - 2 & \end{array} $$ Esto nos permite escribir el integrando siguiendo la regla de $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$: $$\frac{-x^2}{x^2 + x - 2} = -1 + \frac{x - 2}{x^2 + x - 2}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, empieza dividiendo para simplificar la integral.

Ahora debemos descomponer en fracciones simples la parte racional $\frac{x - 2}{x^2 + x - 2}$. Primero, factorizamos el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 2 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Por tanto, el denominador factorizado es: $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ $$\boxed{x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)}$$

Planteamos la descomposición de la fracción original como suma de fracciones con denominadores lineales: $$\frac{x - 2}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$x - 2 = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los coeficientes sustituyendo por las raíces halladas: - Si **$x = 1$**: $1 - 2 = A(1 + 2) \Rightarrow -1 = 3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}$ - Si **$x = -2$**: $-2 - 2 = B(-2 - 1) \Rightarrow -4 = -3B \Rightarrow B = \frac{4}{3}$ Sustituyendo en la expresión de la integral: $$\frac{x - 2}{x^2 + x - 2} = \frac{-1/3}{x - 1} + \frac{4/3}{x + 2}$$ 💡 **Tip:** Sustituir directamente los valores de las raíces es el método más rápido para encontrar las constantes de la descomposición.

Sustituimos toda la expresión obtenida en la integral original: $$\int \frac{-x^2}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( -1 - \frac{1/3}{x - 1} + \frac{4/3}{x + 2} \right) dx$$ Separamos en tres integrales inmediatas: $$I = - \int 1 \, dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} \, dx + \frac{4}{3} \int \frac{1}{x + 2} \, dx$$ Resolvemos cada parte: - $\int 1 \, dx = x$ - $\int \frac{1}{x - 1} \, dx = \ln|x - 1|$ - $\int \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln|x + 2|$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. No olvides incluir siempre el valor absoluto en el logaritmo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = -x - \frac{1}{3} \ln|x - 1| + \frac{4}{3} \ln|x + 2| + C}$$