Optimización de la superficie de un depósito

Para resolver este problema de optimización, lo primero es identificar las variables que definen las dimensiones del depósito: - Sea $x$ la longitud del lado de la base cuadrada (en metros). - Sea $h$ la altura del depósito (en metros). Como el depósito es **abierto** (sin tapa superior), la superficie total de chapa necesaria será la suma del área de la base y el área de las cuatro paredes laterales: $$S = \text{Área base} + 4 \cdot \text{Área pared} = x^2 + 4xh$$ El enunciado nos da una restricción: el volumen $V$ debe ser de $13.5$ $m^3$. La fórmula del volumen de un prisma de base cuadrada es: $$V = x^2 \cdot h = 13.5$$ Nuestra labor es minimizar la función superficie $S$ sujeta a la restricción del volumen. 💡 **Tip:** Lee siempre con atención si el depósito es abierto o cerrado, ya que esto determina si debes sumar una o dos bases al área total.

Para poder derivar la función superficie $S$, debemos expresarla en términos de una sola variable. Para ello, despejamos la altura $h$ de la restricción del volumen: $$x^2 h = 13.5 \implies h = \frac{13.5}{x^2}$$ Ahora, sustituimos $h$ en la expresión de la superficie: $$S(x) = x^2 + 4x \left( \frac{13.5}{x^2} \right)$$ $$S(x) = x^2 + \frac{54}{x}$$ El dominio de esta función para nuestro problema es $x \in (0, +\infty)$, ya que las dimensiones deben ser positivas. ✅ **Función a minimizar:** $$\boxed{S(x) = x^2 + \frac{54}{x}}$$

Para encontrar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 + 54x^{-1} \right) = 2x - \frac{54}{x^2}$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$2x - \frac{54}{x^2} = 0$$ $$2x = \frac{54}{x^2} \implies 2x^3 = 54 \implies x^3 = 27$$ $$x = \sqrt[3]{27} = 3$$ El valor crítico encontrado es **$x = 3$ metros**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto es muy útil en problemas de optimización de recipientes.

Debemos comprobar que en $x = 3$ existe realmente un mínimo. Utilizaremos el criterio de la segunda derivada: $$S''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x - 54x^{-2} \right) = 2 + \frac{108}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 3$: $$S''(3) = 2 + \frac{108}{3^3} = 2 + \frac{108}{27} = 2 + 4 = 6$$ Como $S''(3) \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 3$. También podemos observar el signo de la derivada a ambos lados del punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline S'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como la función pasa de decreciente a creciente, confirmamos el mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos la altura $h$ utilizando la relación obtenida en el paso 2: $$h = \frac{13.5}{x^2} = \frac{13.5}{3^2} = \frac{13.5}{9} = 1.5$$ Por tanto, las dimensiones que minimizan el gasto de chapa son: - Lado de la base cuadrada: **$x = 3$ m** - Altura del depósito: **$h = 1.5$ m** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base: } 3 \text{ m} \times 3 \text{ m, Altura: } 1.5 \text{ m}}$$