Posiciones relativas de recta y plano con parámetros

**a) [1 punto] Calcula $m$ y $n$ en el caso en el que la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$.** Para resolver problemas de posiciones relativas entre rectas y planos, primero identificamos sus vectores y puntos característicos: - El vector normal del plano $\pi \equiv mx + 5y + 2z = 0$ es: $$\vec{n_{\pi}} = (m, 5, 2)$$ - La recta $r$ viene dada en su forma continua: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{0} = \frac{z - 1}{2}$. De sus denominadores extraemos su vector director: $$\vec{v_r} = (3, n, 2)$$ - Además, de los numeradores obtenemos un punto $P_r$ que pertenece a la recta: $$P_r = (-1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_{\pi}}$. Si $\vec{v_r} \parallel \vec{n_{\pi}}$, sus coordenadas deben ser proporcionales: $$\frac{m}{3} = \frac{5}{n} = \frac{2}{2}$$ Resolvemos las igualdades: 1. De la última fracción: $\frac{2}{2} = 1$. 2. Para $m$: $\frac{m}{3} = 1 \implies m = 3$. 3. Para $n$: $\frac{5}{n} = 1 \implies n = 5$. 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el dibujo nos muestra que la dirección de la recta coincide con la dirección 'saliente' (normal) del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 3, \quad n = 5}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula $m$ y $n$ en el caso en el que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$ ($r \subset \pi$), se deben cumplir simultáneamente dos condiciones: 1. **Condición de dirección:** El vector director de la recta $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_{\pi}}$. Es decir, $\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}} = 0$. 2. **Condición de incidencia:** Cualquier punto de la recta (por ejemplo $P_r$) debe pertenecer al plano $\pi$. 💡 **Tip:** Es más sencillo empezar por la condición del punto si esta nos permite despejar una incógnita directamente.

Imponemos que el punto $P_r(-1, 0, 1)$ de la recta pertenezca al plano $\pi \equiv mx + 5y + 2z = 0$: $$m(-1) + 5(0) + 2(1) = 0$$ $$-m + 2 = 0$$ $$m = 2$$ Ya tenemos el valor de $m$ necesario para que la recta y el plano al menos se corten o la recta esté contenida. $$\boxed{m = 2}$$

Ahora imponemos que el vector director $\vec{v_r} = (3, n, 2)$ sea perpendicular al vector normal $\vec{n_{\pi}} = (m, 5, 2)$. Usamos el producto escalar e igualamos a cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}} = 0 \implies (3, n, 2) \cdot (m, 5, 2) = 0$$ $$3m + 5n + 4 = 0$$ Sustituimos el valor $m = 2$ que hemos obtenido en el paso anterior: $$3(2) + 5n + 4 = 0$$ $$6 + 5n + 4 = 0$$ $$10 + 5n = 0$$ $$5n = -10 \implies n = -2$$ Con $m=2$ y $n=-2$, la recta es paralela al plano y contiene un punto del mismo, por lo que está contenida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2, \quad n = -2}$$