Resolución y discusión de un sistema con parámetros

**a) [1 punto] Resuelve el sistema para $\alpha = 1$.** Sustituimos $\alpha = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} 2x + y + (1 - 1)z = 1 - 1 \\ x - 1y - 3z = 1 \\ x + y + 2z = 2(1) - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + y = 0 \\ x - y - 3z = 1 \\ x + y + 2z = 0 \end{cases}$$ Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Antes de resolver, es conveniente calcular el determinante de la matriz de coeficientes para saber si el sistema tiene solución única (Sistema Compatible Determinado).

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [2 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) \cdot 1]$$ $$|A| = [-4 - 3 + 0] - [0 + 2 - 6] = -7 - (-4) = -3$$ Como $|A| = -3 \neq 0$, el rango de $A$ es 3. Al ser un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, el rango de la matriz ampliada también será 3. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$, el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una solución única).

Aplicamos la regla de Cramer para hallar los valores de $x$, $y$ y $z$: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{-(1 \cdot 2 - 0)}{-3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{2(1 \cdot 2 - 0)}{-3} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{-(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)}$$

**b) [1’5 puntos] Determina, si existe, el valor de $\alpha$ para el que $(x, y, z) = (1, -3, \alpha)$ es la única solución del sistema dado.** Para que el sistema tenga una **única solución**, debe cumplirse que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha - 1 \\ 1 & -\alpha & -3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$|A| = [2 \cdot (-\alpha) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) \cdot 1 + (\alpha - 1) \cdot 1 \cdot 1] - [(\alpha - 1) \cdot (-\alpha) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) \cdot 1]$$ $$|A| = [-4\alpha - 3 + \alpha - 1] - [-\alpha^2 + \alpha + 2 - 6]$$ $$|A| = (-3\alpha - 4) - (-\alpha^2 + \alpha - 4) = \alpha^2 - 4\alpha$$ Buscamos los valores que anulan el determinante: $$\alpha^2 - 4\alpha = 0 \implies \alpha(\alpha - 4) = 0 \implies \alpha = 0, \alpha = 4$$ Por tanto, para que la solución sea única, debe cumplirse que **$\alpha \neq 0$** y **$\alpha \neq 4$**.

Para que $(1, -3, \alpha)$ sea solución, debe satisfacer todas las ecuaciones del sistema. Sustituimos $x = 1$, $y = -3$ y $z = \alpha$: 1) $2(1) + (-3) + (\alpha - 1)\alpha = \alpha - 1$ $$2 - 3 + \alpha^2 - \alpha = \alpha - 1 \implies \alpha^2 - 2\alpha = 0 \implies \alpha(\alpha - 2) = 0$$ De aquí obtenemos que $\alpha$ podría ser **$0$** o **$2$**. 2) $1 - \alpha(-3) - 3(\alpha) = 1$ $$1 + 3\alpha - 3\alpha = 1 \implies 1 = 1$$ (Se cumple siempre). 3) $1 + (-3) + 2(\alpha) = 2\alpha - 2$ $$-2 + 2\alpha = 2\alpha - 2 \implies -2 = -2$$ (Se cumple siempre). 💡 **Tip:** Una solución debe satisfacer todas las ecuaciones simultáneamente.

Tenemos dos condiciones que deben cumplirse simultáneamente: 1. El punto debe ser solución: **$\alpha = 0$** o **$\alpha = 2$**. 2. La solución debe ser única ($|A| \neq 0$): **$\alpha \neq 0$** y **$\alpha \neq 4$**. Analizando ambas condiciones: - Si $\alpha = 0$, el determinante es cero, por lo que el sistema no tendría solución única (sería compatible indeterminado o incompatible). - Si **$\alpha = 2$**, el punto es solución y además el determinante es $|A| = 2^2 - 4(2) = -4 \neq 0$, garantizando que la solución es única. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\alpha = 2}$$