Función con valor absoluto: gráfica y área

**a) [0’75 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de $f$.** Para representar $f(x) = |x^2 - 4|$, primero analizamos el signo de la expresión interior, $x^2 - 4$. Los puntos de corte con el eje $X$ son: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$$ Como es una parábola con ramas hacia arriba ($a \gt 0$), el valor es negativo en el intervalo $(-2, 2)$. Aplicando la definición de valor absoluto, la función se define a trozos como: $$f(x)=\begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x \le -2, \\ -(x^2 - 4) & \text{si } -2 \lt x \lt 2, \\ x^2 - 4 & \text{si } x \ge 2. \end{cases}$$ Que es equivalente a: $$f(x)=\begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x \le -2, \\ 4 - x^2 & \text{si } -2 \lt x \lt 2, \\ x^2 - 4 & \text{si } x \ge 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto $|g(x)|$ deja igual a $g(x)$ donde es positiva y le cambia el signo donde es negativa, lo que gráficamente supone reflejar la parte negativa respecto al eje $X$.

Para realizar el esbozo: 1. Partimos de la parábola $y = x^2 - 4$, que tiene su vértice en $(0, -4)$ y corta al eje $X$ en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$. 2. Al aplicar el valor absoluto, la parte de la parábola que está por debajo del eje $X$ (entre $x = -2$ y $x = 2$) se refleja hacia arriba. 3. El nuevo vértice (máximo relativo) de $f(x)$ se sitúa en $(0, 4)$. La gráfica es simétrica respecto al eje $Y$ (función par), ya que $f(-x) = |(-x)^2 - 4| = |x^2 - 4| = f(x)$. $$\boxed{\text{Gráfica con forma de "W" con picos en } x = \pm 2}$$

**b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = 5$.** Para hallar los límites de integración, igualamos la función a la recta: $$|x^2 - 4| = 5$$ Esto genera dos ecuaciones: 1. $x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. 2. $x^2 - 4 = -5 \implies x^2 = -1 \implies$ No tiene solución real. Por tanto, los puntos de corte son $x = -3$ y $x = 3$. El recinto es el área comprendida entre estas dos abscisas, por debajo de $y = 5$ y por encima de $f(x)$. 💡 **Tip:** Si hay valor absoluto, siempre comprueba ambas posibilidades ($g(x) = k$ y $g(x) = -k$) para encontrar todas las intersecciones.

Debido a la simetría del recinto respecto al eje $Y$, podemos calcular el área de la mitad derecha (de $x = 0$ a $x = 3$) y multiplicar por $2$. $$A = \int_{-3}^{3} (5 - f(x)) dx = 2 \int_{0}^{3} (5 - f(x)) dx$$ Como $f(x)$ cambia de definición en $x = 2$, dividimos la integral en dos partes: $$A = 2 \left[ \int_{0}^{2} (5 - (4 - x^2)) dx + \int_{2}^{3} (5 - (x^2 - 4)) dx \right]$$ $$A = 2 \left[ \int_{0}^{2} (1 + x^2) dx + \int_{2}^{3} (9 - x^2) dx \right]$$ 💡 **Tip:** El uso de la simetría simplifica mucho los cálculos al tener que evaluar la regla de Barrow en $0$.

Resolvemos cada integral por separado aplicando la regla de Barrow: 1. Primera parte: $$\int_{0}^{2} (1 + x^2) dx = \left[ x + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2 + \frac{8}{3} \right) - 0 = \frac{14}{3}.$$ 2. Segunda parte: $$\int_{2}^{3} (9 - x^2) dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(2) - \frac{2^3}{3} \right)$$ $$= (27 - 9) - \left( 18 - \frac{8}{3} \right) = 18 - \frac{46}{3} = \frac{54 - 46}{3} = \frac{8}{3}.$$ Sumamos ambos resultados y multiplicamos por $2$: $$A = 2 \left( \frac{14}{3} + \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{22}{3} \right) = \frac{44}{3}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{44}{3} \text{ u}^2 \approx 14.67 \text{ u}^2}$$