Optimización: Vallado de un terreno rectangular

Para resolver este problema de optimización, lo primero es definir las variables que representan las dimensiones del terreno rectangular: - Sea $x$ la longitud del lado paralelo al río (en metros). - Sea $y$ la longitud de los dos lados perpendiculares al río (en metros). Dado que el lado que da al río no necesita vallado, el perímetro de valla necesario será la suma de los otros tres lados. 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, siempre es útil realizar un dibujo para identificar qué lados contribuyen a la función que queremos minimizar.

El problema nos da dos informaciones clave: 1. **La restricción (Área):** El área del rectángulo debe ser de $180,000\, \text{m}^2$. $$A = x \cdot y = 180,000$$ 2. **La función objetivo (Longitud de la valla):** Queremos minimizar la cantidad de valla utilizada, que llamaremos $L$. Como un lado $x$ no se valla: $$L = x + 2y$$ Para poder derivar y encontrar el mínimo, necesitamos expresar $L$ en función de una sola variable. Despejamos $x$ de la restricción del área: $$x = \frac{180,000}{y}$$ Sustituimos en la función $L$: $$L(y) = \frac{180,000}{y} + 2y$$ El dominio de nuestra función, por contexto geométrico, es $y \in (0, +\infty)$.

Para hallar el mínimo, calculamos la derivada de $L(y)$ respecto a $y$ e igualamos a cero: $$L'(y) = \left( 180,000 \cdot y^{-1} + 2y \right)' = -180,000 \cdot y^{-2} + 2$$ $$L'(y) = -\frac{180,000}{y^2} + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-\frac{180,000}{y^2} + 2 = 0 \implies 2 = \frac{180,000}{y^2} \implies 2y^2 = 180,000$$ $$y^2 = 90,000 \implies y = \sqrt{90,000} = 300$$ Tomamos solo el valor positivo $y = 300$ ya que se trata de una longitud. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Es una regla muy común en problemas de optimización con áreas fijas.

Debemos comprobar que en $y = 300$ existe un mínimo relativo. Utilizaremos el criterio de la **segunda derivada**: $$L''(y) = \left( -180,000 \cdot y^{-2} + 2 \right)' = -180,000 \cdot (-2) \cdot y^{-3} = \frac{360,000}{y^3}$$ Evaluamos en nuestro punto crítico $y = 300$: $$L''(300) = \frac{360,000}{300^3} = \frac{360,000}{27,000,000} \gt 0$$ Como **$L''(300) > 0$**, la función presenta un **mínimo relativo** en ese punto. También podemos observar la monotonía mediante una tabla de signos para $L'(y)$: $$\begin{array}{c|ccc} y & (0, 300) & 300 & (300, +\infty)\\ \hline L'(y) & - & 0 & + \end{array}$$ En el intervalo $(0, 300)$, $L'(y) < 0$ (la función decrece) y en $(300, +\infty)$, $L'(y) > 0$ (la función crece), lo que confirma el mínimo absoluto en el dominio dado.

Una vez hallado el valor óptimo de $y$, calculamos el valor de $x$ utilizando la relación del área: $$x = \frac{180,000}{y} = \frac{180,000}{300} = 600\, \text{m}$$ Las dimensiones del terreno serán: - El lado paralelo al río medirá **$600\, \text{m}$**. - Los lados perpendiculares al río medirán **$300\, \text{m}$** cada uno. La cantidad mínima de valla utilizada sería $L = 600 + 2(300) = 1,200\, \text{m}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 600\, \text{m} \text{ (paralelo al río) y } 300\, \text{m} \text{ (perpendicular al río)}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "L(x) = 180000/x + 2x", "color": "#2563eb" }, { "id": "p", "latex": "(300, L(300))", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo (300, 1200)" } ], "bounds": { "left": -50, "right": 1000, "bottom": -100, "top": 3000 } } }