Recta perpendicular común y distancia entre rectas

**a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.** En primer lugar, extraemos un punto y el vector director de cada recta. Para la recta $r$: La recta ya viene dada en una forma casi paramétrica. Si $z = \lambda - 2$, podemos identificar: - Punto $P_r = (1, 1, -2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (0, 0, 1)$ Para la recta $s$: Está dada en forma implícita. Para obtener su vector director y un punto, pasamos a paramétricas haciendo $y = \mu$: $$\begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = \mu \\ z = -1 \end{cases}$$ - Punto $P_s = (1, 0, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, 1, 0)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables que quede libre.

La recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$ (llamémosla $t$) debe tener un vector director $\vec{v}_t$ que sea perpendicular a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$ simultáneamente. Esto se consigue mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_t = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\mathbf{i} - (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\mathbf{j} + (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_t = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-1, 1, 0)$$ $$\boxed{\vec{v}_t = (-1, 1, 0)}$$

Para hallar la ecuación de la recta $t$, la determinaremos como la intersección de dos planos: 1. El plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y a la dirección $\vec{v}_t$. 2. El plano $\pi_2$ que contiene a $s$ y a la dirección $\vec{v}_t$. **Plano $\pi_1$:** Pasa por $P_r(1,1,-2)$ con vectores $\vec{v}_r(0,0,1)$ y $\vec{v}_t(-1,1,0)$. $$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies -(y-1) - (x-1) = 0 \implies -y + 1 - x + 1 = 0 \implies x + y - 2 = 0$$ **Plano $\pi_2$:** Pasa por $P_s(1,0,-1)$ con vectores $\vec{v}_s(1,1,0)$ y $\vec{v}_t(-1,1,0)$. $$\begin{vmatrix} x-1 & y & z+1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies (z+1) \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 0 \implies 2(z+1) = 0 \implies z = -1$$ La recta $t$ es la intersección de ambos planos. ✅ **Resultado (recta perpendicular común):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = -1 \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** Primero comprobamos la posición relativa de las rectas mediante el producto mixto de $\vec{P_r P_s}$, $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. Calculamos $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-1, 0-1, -1-(-2)) = (0, -1, 1)$. El producto mixto es: $$[\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s] = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot(\dots) - (-1) \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 1 \cdot (-1) = -1$$ Como el producto mixto es distinto de cero, las rectas **se cruzan**. La fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan es: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{||\vec{v}_r \times \vec{v}_s||}$$ Ya tenemos el numerador: $|-1| = 1$. Calculamos el módulo del producto vectorial hallado en el apartado anterior: $$||\vec{v}_r \times \vec{v}_s|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ Por tanto: $$d(r, s) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades de longitud}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos rectas que se cruzan es la altura del paralelepípedo formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \text{ u}}$$