Ecuación matricial y propiedades de los determinantes

**a) [1’5 puntos] Determina la matriz $X$ para la que $A^t X B^{-1} = C$, ($A^t$ es la traspuesta de $A$).** Para despejar $X$ de la ecuación $A^t X B^{-1} = C$, debemos multiplicar por las matrices inversas correspondientes en el orden correcto, recordando que el producto de matrices no es conmutativo. 1. Multiplicamos por la izquierda por $(A^t)^{-1}$: $$(A^t)^{-1} A^t X B^{-1} = (A^t)^{-1} C \implies I \cdot X B^{-1} = (A^t)^{-1} C \implies X B^{-1} = (A^t)^{-1} C$$ 2. Multiplicamos por la derecha por $B$: $$X B^{-1} B = (A^t)^{-1} C B \implies X \cdot I = (A^t)^{-1} C B \implies X = (A^t)^{-1} C B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para despejar, multiplicamos por la inversa en el mismo lado donde se encuentra la matriz que queremos eliminar ($M^{-1}M = I$ y $MM^{-1} = I$).

Primero hallamos la traspuesta de $A$: $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ Observamos que $A$ es una matriz simétrica, por lo que $A^t = A$. Calculamos ahora su inversa $(A^t)^{-1}$: 1. Determinante: $|A^t| = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3$. 2. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$. 3. Traspuesta de la adjunta: $(\text{Adj}(A^t))^t = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$. 4. Inversa: $(A^t)^{-1} = \frac{1}{|A^t|} (\text{Adj}(A^t))^t = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{pmatrix}$. $$\boxed{(A^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos $X = (A^t)^{-1} (C B)$. Primero el producto $C B$ ($C$ es $2 \times 3$ y $B$ es $3 \times 3$, el resultado es $2 \times 3$): $$CB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0 + 0 & 1\cdot 0 + 0 + 0 & 1\cdot 0 + 0 + 0 \\ -1\cdot 1 + 5(-2) + 0 & -1\cdot 0 + 5\cdot 1 + 0 & -1\cdot 0 + 5\cdot 0 + 0 \end{pmatrix}$$ $$CB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -11 & 5 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente multiplicamos por $(A^t)^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -11 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 - 22/3 & 0 + 10/3 & 0 \\ 2/3 - 11/3 & 0 + 5/3 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -21/3 & 10/3 & 0 \\ -9/3 & 5/3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 10/3 & 0 \\ -3 & 5/3 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -7 & 10/3 & 0 \\ -3 & 5/3 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Calcula el determinante de $B^{-1}(C^tC)B$, ($C^t$ es la traspuesta de $C$).** Utilizamos las propiedades de los determinantes: 1. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ 2. $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ Aplicando estas propiedades a la expresión dada: $$|B^{-1}(C^tC)B| = |B^{-1}| \cdot |C^tC| \cdot |B| = \frac{1}{|B|} \cdot |C^tC| \cdot |B| = |C^tC|$$ 💡 **Tip:** El determinante del producto de una matriz por su inversa (siempre que estén en la misma expresión de producto global) se cancela, ya que representan valores recíprocos.

Necesitamos calcular $|C^t C|$. Hallamos primero el producto $C^t C$: $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $$C^t C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 0-5 & 0 \\ 0-5 & 0+25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 0 \\ -5 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de esta matriz $3 \times 3$. Puesto que tiene una fila completa de ceros (la tercera fila): $$|C^t C| = 0$$ Alternativamente, sabemos que el rango de $C$ es a lo sumo 2 (pues es una matriz $2 \times 3$). El rango de un producto $C^t C$ no puede ser mayor que el rango de sus factores, por lo que $\text{rg}(C^t C) \le 2$. Al ser una matriz $3 \times 3$ con rango menor que 3, su determinante es obligatoriamente 0. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(B^{-1}(C^tC)B) = 0}$$