Integral definida por partes

Para resolver la integral $\int_{0}^{\pi} x^2 \operatorname{sen} (x) dx$, observamos que el integrando es el producto de un polinomio ($x^2$) y una función trigonométrica ($\operatorname{sen} x$). Utilizaremos el método de **integración por partes** dos veces. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En este caso, elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = \operatorname{sen}(x) \, dx \implies v = \int \operatorname{sen}(x) \, dx = -\cos(x)$ Aplicando la fórmula a la integral indefinida $I = \int x^2 \operatorname{sen}(x) \, dx$: $$I = x^2(-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 2x \, dx$$ $$I = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx$$

Ahora debemos resolver la integral restante: $\int x \cos x \, dx$. Aplicamos de nuevo el método por partes: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \operatorname{sen}(x)$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \cos x \, dx = x \operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x \, dx$$ $$\int x \cos x \, dx = x \operatorname{sen} x - (-\cos x) = x \operatorname{sen} x + \cos x$$ Sustituimos este resultado en la expresión original de $I$: $$I = -x^2 \cos x + 2 (x \operatorname{sen} x + \cos x)$$ $$I = -x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2 \cos x$$

Definimos la primitiva de la función como: $$F(x) = -x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2 \cos x$$ Para calcular la integral definida entre $0$ y $\pi$, aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{0}^{\pi} x^2 \operatorname{sen}(x) \, dx = [F(x)]_{0}^{\pi} = F(\pi) - F(0)$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que si $F$ es una primitiva de $f$, entonces $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Calculamos los valores de la primitiva en los extremos del intervalo: **Para $x = \pi$:** $$F(\pi) = -\pi^2 \cos(\pi) + 2\pi \operatorname{sen}(\pi) + 2 \cos(\pi)$$ Sabiendo que $\cos(\pi) = -1$ y $\operatorname{sen}(\pi) = 0$: $$F(\pi) = -\pi^2(-1) + 2\pi(0) + 2(-1) = \pi^2 - 2$$ **Para $x = 0$:** $$F(0) = -0^2 \cos(0) + 2(0) \operatorname{sen}(0) + 2 \cos(0)$$ Sabiendo que $\cos(0) = 1$ y $\operatorname{sen}(0) = 0$: $$F(0) = 0 + 0 + 2(1) = 2$$ Finalmente, restamos los valores: $$\int_{0}^{\pi} x^2 \operatorname{sen}(x) \, dx = (\pi^2 - 2) - 2 = \pi^2 - 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi^2 - 4 \approx 5.8696}$$