Cálculo de parámetros en una función racional

Para una función racional de la forma $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, las asíntotas verticales se encuentran en los valores de $x$ que anulan el denominador pero no el numerador. El enunciado indica que existe una asíntota vertical en $x = 1$. Por lo tanto, el denominador $x + c$ debe ser igual a cero cuando $x = 1$: $$1 + c = 0 \implies c = -1$$ De este modo, la función toma la forma: $$f(x) = \frac{ax^2 + b}{x - 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $x=a$ es una asíntota vertical, entonces $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. En funciones racionales, esto suele ocurrir donde el denominador es cero. $$\boxed{c = -1}$$

La pendiente $m$ de la asíntota oblicua $y = mx + n$ se calcula mediante el límite: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$ Sustituimos la expresión de nuestra función: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2 + b}{x - 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{x^2 - x}$$ Como es un límite de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$m = a$$ El enunciado establece que la pendiente de la asíntota oblicua es 2, por lo tanto: $$\boxed{a = 2}$$ Ahora la función es: $$f(x) = \frac{2x^2 + b}{x - 1}$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

Un extremo local (máximo o mínimo) en $x = 3$ implica que la derivada de la función en ese punto debe ser igual a cero ($f'(3) = 0$). Primero, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{2x^2 + b}{x - 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4x)(x - 1) - (2x^2 + b)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x^2 - 4x - 2x^2 - b}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 4x - b}{(x - 1)^2}$$ Imponemos la condición $f'(3) = 0$: $$f'(3) = \frac{2(3)^2 - 4(3) - b}{(3 - 1)^2} = 0$$ $$\frac{18 - 12 - b}{4} = 0 \implies 6 - b = 0 \implies b = 6$$ 💡 **Tip:** Para que un punto sea un extremo relativo, la condición necesaria (pero no suficiente) es que su primera derivada sea nula. En este ejercicio, al ser una función racional suave fuera de su dominio, esta condición nos permite hallar el parámetro directamente. $$\boxed{b = 6}$$

Los valores hallados son **$a = 2$, $b = 6$ y $c = -1$**. La función resultante es: $$f(x) = \frac{2x^2 + 6}{x - 1}$$ Podemos verificar rápidamente: 1. **Asíntota vertical:** $x - 1 = 0 \implies x = 1$ (Correcto). 2. **Asíntota oblicua:** $2x^2/x^2 \to 2$ (Pendiente $m=2$, Correcto). 3. **Extremo en x = 3:** $f'(3) = \frac{2(9)-4(3)-6}{4} = 0$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \, b = 6, \, c = -1}$$