Distancia de un punto a una recta y ecuación del plano

**a) [1’5 puntos] Halla la distancia de $P$ a $r$.** Para trabajar con la recta $r$, primero debemos obtener un punto $A_r$ que pertenezca a ella y su vector director $\vec{v}_r$. La recta viene dada en su forma implícita: $$r: \begin{cases} x + y = 0 \\ z - 1 = 0 \end{cases}$$ Podemos pasarla a paramétricas asignando un parámetro, por ejemplo, $y = \lambda$: - De $x + y = 0 \implies x = -y = -\lambda$ - De $z - 1 = 0 \implies z = 1$ Así, las ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = -\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: **$A_r(0, 0, 1)$** - El vector director: **$\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$** 💡 **Tip:** El vector director también se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n}_1(1, 1, 0)$ y $\vec{n}_2(0, 0, 1)$.

La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ viene dada por la fórmula: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{A_rP}|}{|\vec{v}_r|}$$ Primero, calculamos el vector $\vec{A_rP}$: $$\vec{A_rP} = P - A_r = (1 - 0, 0 - 0, -1 - 1) = (1, 0, -2)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{A_rP}$ mediante un determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) - \vec{j}((-1) \cdot (-2) - 0 \cdot 1) + \vec{k}((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = -2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} = (-2, -2, -1)$$ Calculamos los módulos necesarios: - $|\vec{v}_r \times \vec{A_rP}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ - $|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2,121 \text{ u}}$$

**b) [1 punto] Determina la ecuación general del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores linealmente independientes contenidos en él. Como el plano contiene a la recta $r$ y al punto $P$, podemos usar: - El punto $P(1, 0, -1)$ (o el punto $A_r$). - El vector director de la recta $r$: $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$. - El vector que une el punto $A_r$ de la recta con el punto $P$: $\vec{A_rP} = (1, 0, -2)$. 💡 **Tip:** Si el punto $P$ perteneciera a la recta $r$, no se podría formar un plano único. En el apartado (a) hemos comprobado que $d(P,r) \neq 0$, por lo que el punto es exterior a la recta y el plano existe.

La ecuación general del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ v_{rx} & v_{ry} & v_{rz} \\ A_rP_x & A_rP_y & A_rP_z \end{vmatrix} = 0$$ Sustituimos con $P(1, 0, -1)$, $\vec{v}_r(-1, 1, 0)$ y $\vec{A_rP}(1, 0, -2)$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z + 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x-1) \cdot 1 \cdot (-2) + y \cdot 0 \cdot 1 + (z+1) \cdot (-1) \cdot 0 - [ (z+1) \cdot 1 \cdot 1 + (x-1) \cdot 0 \cdot 0 + y \cdot (-1) \cdot (-2) ] = 0$$ $$-2(x-1) - [ (z+1) + 2y ] = 0$$ $$-2x + 2 - z - 1 - 2y = 0$$ $$-2x - 2y - z + 1 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$2x + 2y + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x + 2y + z - 1 = 0}$$