Ecuación matricial y propiedades de los determinantes

**(a) [1’75 puntos] Halla la matriz $X$ que verifica $AX - B = I$ ($I$ denota la matriz identidad de orden 3).** Primero, aislamos el término que contiene a $X$ sumando $B$ en ambos lados de la igualdad: $$AX = I + B$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa de $A$ ($A^{-1}$), asumiendo que esta existe: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(I + B)$$ $$(A^{-1}A)X = A^{-1}(I + B)$$ $$IX = A^{-1}(I + B)$$ $$X = A^{-1}(I + B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Como $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

Calculamos la matriz suma $C = I + B$: $$I + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{I + B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (18 + 3 + 4) - (2 + 12 + 9) = 25 - 23 = 2$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Ahora calculamos la matriz de adjuntos (cofactores): $$A_{11} = +(18-12) = 6; \quad A_{12} = -(9-3) = -6; \quad A_{13} = +(4-2) = 2$$ $$A_{21} = -(9-4) = -5; \quad A_{22} = +(9-1) = 8; \quad A_{23} = -(4-1) = -3$$ $$A_{31} = +(3-2) = 1; \quad A_{32} = -(3-1) = -2; \quad A_{33} = +(2-1) = 1$$ La matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & -5 & 1 \\ -6 & 8 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No es necesario dividir cada elemento por 2 todavía; es más cómodo operar con la fracción fuera hasta el paso final.

Multiplicamos $A^{-1}$ por $(I+B)$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & -5 & 1 \\ -6 & 8 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: - Fila 1: $(6\cdot 0 - 5\cdot 1 + 1\cdot 1) = -4$; $(6\cdot 1 - 5\cdot 0 + 1\cdot 1) = 7$; $(6\cdot 1 - 5\cdot 1 + 1\cdot 0) = 1$ - Fila 2: $(-6\cdot 0 + 8\cdot 1 - 2\cdot 1) = 6$; $(-6\cdot 1 + 8\cdot 0 - 2\cdot 1) = -8$; $(-6\cdot 1 + 8\cdot 1 - 2\cdot 0) = 2$ - Fila 3: $(2\cdot 0 - 3\cdot 1 + 1\cdot 1) = -2$; $(2\cdot 1 - 3\cdot 0 + 1\cdot 1) = 3$; $(2\cdot 1 - 3\cdot 1 + 1\cdot 0) = -1$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 7 & 1 \\ 6 & -8 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3.5 & 0.5 \\ 3 & -4 & 1 \\ -1 & 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 7/2 & 1/2 \\ 3 & -4 & 1 \\ -1 & 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}}$$

**(b) [0’75 puntos] Calcula el determinante de la matriz $(A^2 B^{-1})^{2015}$.** Utilizamos las propiedades de los determinantes para simplificar la expresión: 1. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ 2. $|M^n| = |M|^n$ 3. $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ Aplicando estas reglas a $|(A^2 B^{-1})^{2015}|$: $$|(A^2 B^{-1})^{2015}| = |A^2 B^{-1}|^{2015} = \left( |A|^2 \cdot |B^{-1}| \right)^{2015} = \left( |A|^2 \cdot \frac{1}{|B|} \right)^{2015}$$ 💡 **Tip:** No intentes calcular la potencia 2015 de la matriz, es imposible en un examen. Siempre se resuelven mediante propiedades.

Ya sabemos que $|A| = 2$. Calculamos ahora el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicando Sarrus: $$|B| = [(-1)(-1)(-1) + 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1] - [1\cdot (-1)\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot (-1) + (-1)\cdot 1\cdot 1]$$ $$|B| = [-1 + 1 + 1] - [-1 - 1 - 1] = 1 - (-3) = 4$$ Sustituimos los valores en la expresión del paso anterior: $$\text{Det} = \left( 2^2 \cdot \frac{1}{4} \right)^{2015} = \left( 4 \cdot \frac{1}{4} \right)^{2015} = 1^{2015} = 1$$ ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{1}$$