Primitiva y recta tangente de una función racional

**a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto $P$.** La recta tangente a la gráfica de una función $F(x)$ en un punto $x = a$ viene dada por la ecuación punto-pendiente: $$y - F(a) = F'(a)(x - a)$$ En este caso, el punto de tangencia es $P(2, \ln(2))$, por lo que $a = 2$ y $F(2) = \ln(2)$. Sabemos que $F$ es una primitiva de $f$, lo que por definición significa que $F'(x) = f(x)$. Por tanto, la pendiente $m$ de la recta tangente en $x = 2$ es: $$m = F'(2) = f(2)$$ Sustituimos $x = 2$ en la expresión de $f(x)$: $$f(2) = \frac{2^2 + 1}{2^2(2 - 1)} = \frac{4 + 1}{4 \cdot 1} = \frac{5}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una primitiva es, por definición, la función original: $F'(x) = f(x)$.

Utilizamos los valores obtenidos: punto $(2, \ln(2))$ y pendiente $m = 5/4$: $$y - \ln(2) = \frac{5}{4}(x - 2)$$ Podemos expresar la recta en su forma explícita despejando $y$: $$y = \frac{5}{4}x - \frac{10}{4} + \ln(2) \implies y = \frac{5}{4}x - \frac{5}{2} + \ln(2)$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y - \ln(2) = \frac{5}{4}(x - 2)}$$

**b) [2 puntos] Determina la función $F$.** Para hallar $F(x)$, debemos calcular la integral indefinida de $f(x)$: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)} \, dx$$ Como el integrando es una función racional donde el grado del numerador (2) es menor que el del denominador (3), utilizaremos el **método de descomposición en fracciones simples**. El denominador tiene una raíz real simple ($x = 1$) y una raíz real múltiple ($x = 0$ con multiplicidad 2). La descomposición es de la forma: $$\frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x - 1}$$ 💡 **Tip:** Cuando una raíz $x=a$ tiene multiplicidad $n$, debemos incluir todas las fracciones desde grado 1 hasta $n$: $\frac{A_1}{(x-a)} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}$.

Sumamos las fracciones para igualar los numeradores: $$\frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2}{x^2(x - 1)}$$ Por tanto: $$x^2 + 1 = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2$$ Calculamos $A, B$ y $C$ dando valores a $x$: - Si $x = 0$: $0^2 + 1 = B(0 - 1) \implies 1 = -B \implies \mathbf{B = -1}$ - Si $x = 1$: $1^2 + 1 = C(1)^2 \implies 2 = C \implies \mathbf{C = 2}$ - Si $x = 2$: $2^2 + 1 = A(2)(1) + B(1) + C(4) \implies 5 = 2A - 1 + 8 \implies 5 = 2A + 7 \implies 2A = -2 \implies \mathbf{A = -1}$

Sustituimos los coeficientes en la integral: $$F(x) = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{-1}{x^2} + \frac{2}{x - 1} \right) dx$$ Integramos término a término: $$F(x) = -\int \frac{1}{x} dx - \int x^{-2} dx + 2\int \frac{1}{x - 1} dx$$ $$F(x) = -\ln|x| - \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + 2\ln|x - 1| + K$$ $$F(x) = -\ln|x| + \frac{1}{x} + 2\ln|x - 1| + K$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$.

Utilizamos el dato del enunciado: la gráfica de $F$ pasa por $P(2, \ln(2))$, lo que significa que $F(2) = \ln(2)$: $$F(2) = -\ln(2) + \frac{1}{2} + 2\ln|2 - 1| + K = \ln(2)$$ Como $\ln(1) = 0$: $$-\ln(2) + \frac{1}{2} + 0 + K = \ln(2)$$ Despejamos $K$: $$K = \ln(2) + \ln(2) - \frac{1}{2} = 2\ln(2) - \frac{1}{2}$$ Sustituimos $K$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = -\ln|x| + \frac{1}{x} + 2\ln|x - 1| + 2\ln(2) - \frac{1}{2}$$ Podemos simplificar usando propiedades de logaritmos: $2\ln|x-1| = \ln(x-1)^2$ y $2\ln(2) = \ln(4)$. ✅ **Resultado (función F):** $$\boxed{F(x) = \ln \left( \frac{(x - 1)^2}{|x|} \right) + \frac{1}{x} + \ln(4) - \frac{1}{2}}$$ (O cualquier forma equivalente de la expresión anterior).