Estudio de derivabilidad y extremos de una función con valor absoluto

Para estudiar la derivabilidad y la monotonía de la función $f(x) = x^2 - |x|$, primero debemos expresarla como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x < 0$. Por tanto: - Si $x \lt 0$, $f(x) = x^2 - (-x) = x^2 + x$. - Si $x \ge 0$, $f(x) = x^2 - x$. La función queda definida como: $$f(x)=\begin{cases} x^2 + x & \text{si } x \lt 0,\\ x^2 - x & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una función con valor absoluto, el primer paso es desglosarla en ramas según el signo de la expresión interior del valor absoluto.

**a) [0’5 puntos] Estudia la derivabilidad de $f$.** Antes de estudiar la derivabilidad, debemos comprobar la continuidad. Las funciones $x^2+x$ y $x^2-x$ son polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. Solo falta estudiar el punto de salto $x = 0$: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 + x) = 0$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 - x) = 0$ 3. $f(0) = 0^2 - 0 = 0$ Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, la función **$f$ es continua en $x = 0$** y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$.

Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(x)=\begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \lt 0,\\ 2x - 1 & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ Estudiamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x + 1) = 1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 1) = -1$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Geométricamente, si las derivadas laterales no coinciden, la gráfica de la función presenta un "punto anguloso" en ese valor de $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Buscamos los valores donde $f'(x) = 0$ en cada rama: - Rama $x \lt 0$: $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. Como $-1/2 \lt 0$, es un punto crítico. - Rama $x \gt 0$: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$. Como $1/2 \gt 0$, es un punto crítico. - Punto de no derivabilidad: $x = 0$. Dividimos la recta real en intervalos según estos puntos: $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 0)$, $(0, 1/2)$ y $(1/2, +\infty)$.

Analizamos el signo de la derivada en cada intervalo: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 0) & 0 & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{MÁX} & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1/2)$, $f'(x) \lt 0$ (por ejemplo, $f'(-1) = -1 \lt 0$): **Decreciente**. - En $(-1/2, 0)$, $f'(x) \gt 0$ (por ejemplo, $f'(-0.25) = 0.5 \gt 0$): **Creciente**. - En $(0, 1/2)$, $f'(x) \lt 0$ (por ejemplo, $f'(0.25) = -0.5 \lt 0$): **Decreciente**. - En $(1/2, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$ (por ejemplo, $f'(1) = 1 \gt 0$): **Creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Creciente: } (-1/2, 0) \cup (1/2, +\infty) \\ & \text{Decreciente: } (-\infty, -1/2) \cup (0, 1/2) \end{aligned}}$$

**c) [1 punto] Calcula los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Observando la tabla de monotonía anterior: 1. En **$x = -1/2$** hay un **mínimo relativo** porque la función pasa de decrecer a crecer. $f(-1/2) = (-1/2)^2 - |-1/2| = 1/4 - 1/2 = -1/4$. 2. En **$x = 0$** hay un **máximo relativo** porque la función pasa de crecer a decrecer (a pesar de no ser derivable en ese punto). $f(0) = 0^2 - |0| = 0$. 3. En **$x = 1/2$** hay un **mínimo relativo** porque la función pasa de decrecer a crecer. $f(1/2) = (1/2)^2 - |1/2| = 1/4 - 1/2 = -1/4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Mínimos relativos: } (-1/2, -1/4) \text{ y } (1/2, -1/4) \\ & \text{Máximo relativo: } (0, 0) \end{aligned}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^2-|x|", "color": "#2563eb" }, { "id": "min1", "latex": "(-0.5, -0.25)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo" }, { "id": "max", "latex": "(0, 0)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máximo" }, { "id": "min2", "latex": "(0.5, -0.25)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1, "top": 2 } } }