Área de un triángulo y punto en recta para triángulo rectángulo

**a) [1’25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $B, C$ y $D$.** Para calcular el área de un triángulo en el espacio, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice. Calculamos los vectores $\vec{BC}$ y $\vec{BD}$: $$\vec{BC} = C - B = (9-1, -1-2, 2-(-3)) = (8, -3, 5)$$ $$\vec{BD} = D - B = (5-1, 0-2, -1-(-3)) = (4, -2, 2)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo definido por los puntos $P, Q, R$ es $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$. Es indiferente qué vértice elijas como origen.

Calculamos ahora el producto vectorial $\vec{BC} \times \vec{BD}$ mediante el desarrollo del determinante por la primera fila: $$\vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & -3 & 5 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por adjuntos o Sarrus: $$\vec{BC} \times \vec{BD} = \vec{i} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 8 & -3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{BC} \times \vec{BD} = \vec{i}(-6 - (-10)) - \vec{j}(16 - 20) + \vec{k}(-16 - (-12))$$ $$\vec{BC} \times \vec{BD} = 4\vec{i} + 4\vec{j} - 4\vec{k} = (4, 4, -4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial es un vector perpendicular al plano que contiene a los otros dos.

El área es la mitad del módulo de este vector: $$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$ Finalmente, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{3} \text{ unidades cuadradas}}$$

**b) [1’25 puntos] Halla un punto $A$ en la recta $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A$.** Primero, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. Resolvemos el sistema de ecuaciones implícitas: $$r \equiv \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$$ Si hacemos $y = \lambda$, entonces: - De la segunda ecuación: $z = y = \lambda$ - De la primera ecuación: $x = -1 - y = -1 - \lambda$ Por tanto, cualquier punto $A$ perteneciente a la recta $r$ tiene la forma: $$A(-1-\lambda, \lambda, \lambda)$$ 💡 **Tip:** Para encontrar puntos en una recta, es fundamental pasar de su forma implícita a la paramétrica usando un parámetro $\lambda$.

Para que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A$, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ deben ser perpendiculares. Esto implica que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$$ Calculamos los vectores en función de $\lambda$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-1-\lambda), 2 - \lambda, -3 - \lambda) = (2+\lambda, 2-\lambda, -3-\lambda)$$ $$\vec{AC} = C - A = (9 - (-1-\lambda), -1 - \lambda, 2 - \lambda) = (10+\lambda, -1-\lambda, 2-\lambda)$$ 💡 **Tip:** Si un triángulo es rectángulo en un vértice, los vectores que forman los catetos concurrentes en dicho vértice deben tener producto escalar nulo.

Planteamos y resolvemos el producto escalar: $$(2+\lambda)(10+\lambda) + (2-\lambda)(-1-\lambda) + (-3-\lambda)(2-\lambda) = 0$$ Desarrollamos cada término: - $(2+\lambda)(10+\lambda) = 20 + 2\lambda + 10\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 + 12\lambda + 20$ - $(2-\lambda)(-1-\lambda) = -2 - 2\lambda + \lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - \lambda - 2$ - $(-3-\lambda)(2-\lambda) = -6 + 3\lambda - 2\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 + \lambda - 6$ Sumamos los desarrollos: $$(\lambda^2 + 12\lambda + 20) + (\lambda^2 - \lambda - 2) + (\lambda^2 + \lambda - 6) = 0$$ $$3\lambda^2 + 12\lambda + 12 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 3: $$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$$ Esta es una identidad notable $(a+b)^2$: $$(\lambda + 2)^2 = 0 \implies \lambda = -2$$

Sustituimos el valor de $\lambda = -2$ en la expresión genérica del punto $A$: $$A(-1 - (-2), -2, -2) = (1, -2, -2)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(1, -2, -2)}$$