Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de $\alpha$ para los que el sistema tiene solución única.** Para estudiar el sistema, primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ para saber cuándo es regular (rango máximo). $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & \alpha \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (\alpha \cdot 1 \cdot \alpha) + (2 \cdot 2 \cdot 3) + (-1 \cdot 0 \cdot 4) - [(-1 \cdot 1 \cdot 3) + (2 \cdot 0 \cdot \alpha) + (\alpha \cdot 2 \cdot 4)]$$ $$|A| = \alpha^2 + 12 + 0 - [-3 + 0 + 8\alpha]$$ $$|A| = \alpha^2 - 8\alpha + 15$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\alpha^2 - 8\alpha + 15 = 0 \implies \alpha = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(15)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}$$ Obtenemos los valores **$\alpha = 5$** y **$\alpha = 3$**. 💡 **Tip:** Un sistema $AX=B$ tiene solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema tiene solución única si el rango de la matriz $A$ es igual al rango de la matriz ampliada $A^*$ e igual al número de incógnitas ($n=3$). Si **$\alpha \neq 3$** y **$\alpha \neq 5$**: Entonces $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Por tanto, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución única si } \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{3, 5\}}$$

**b) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de $\alpha$ para los que el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso **$\alpha = 5$**. La matriz ampliada $A^*$ es: $$A^* = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 3 & 4 & 5 & | & 3 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de $A^*$ orlando ese menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = (5 \cdot 1 \cdot 3) + (2 \cdot 3 \cdot 3) + (1 \cdot 0 \cdot 4) - [(1 \cdot 1 \cdot 3) + (2 \cdot 0 \cdot 3) + (5 \cdot 3 \cdot 4)]$$ $$= (15 + 18 + 0) - (3 + 0 + 60) = 33 - 63 = -30 \neq 0$$ Como el determinante de orden 3 es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\alpha = 5}$$

**c) [1 punto] Determina, si existen, los valores de $\alpha$ para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.** Que tenga al menos dos soluciones significa que tiene infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado). Analizamos el caso **$\alpha = 3$**: $$A^* = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 3 & 4 & 3 & | & 3 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = (9 + 6 + 0) - (3 + 12 + 0) = 15 - 15 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 en $A^*$ son 0, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (α para SCI):** $$\boxed{\alpha = 3}$$

Para hallar las soluciones cuando $\alpha = 3$, usamos las dos ecuaciones linealmente independientes (las que formaron el menor de orden 2): $$\begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): 1. De la segunda ecuación: $y = 1 - 2\lambda$ 2. Sustituimos en la primera: $$3x + 2(1 - 2\lambda) - \lambda = 1$$ $$3x + 2 - 4\lambda - \lambda = 1 \implies 3x = 1 - 2 + 5\lambda \implies 3x = -1 + 5\lambda$$ $$x = -\frac{1}{3} + \frac{5}{3}\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas indeterminados, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rg}(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado (soluciones):** $$\boxed{\begin{cases} x = -\frac{1}{3} + \frac{5}{3}\lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$