Área entre parábola y recta con parámetro

**Calcula el valor de $a \gt 1$ sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola $y = -x^2 + ax$ y la recta $y = x$ es $\frac{4}{3}$.** Para hallar el área entre dos curvas, primero debemos encontrar sus puntos de intersección. Igualamos ambas expresiones: $$-x^2 + ax = x$$ Trasladamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + ax - x = 0$$ $$-x^2 + (a-1)x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(-x + a - 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x_1 = 0$ 2. $-x + a - 1 = 0 \implies x_2 = a - 1$ Como el enunciado indica que $a \gt 1$, sabemos que $a - 1 \gt 0$, por lo que los límites de integración serán $0$ y $a - 1$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen los límites del recinto sobre el eje $X$ para realizar la integración definida.

Para calcular el área, debemos restar la función que queda por debajo de la que queda por arriba en el intervalo $[0, a-1]$. Probamos un valor intermedio, por ejemplo $x = \frac{a-1}{2}$. La parábola $f(x) = -x^2 + ax$ abre hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo) y sus raíces son $0$ y $a$. En el intervalo de integración, la parábola está por encima de la recta $g(x) = x$. La función diferencia será: $$h(x) = (-x^2 + ax) - x = -x^2 + (a-1)x$$ 💡 **Tip:** Si no estás seguro de cuál va arriba, puedes usar el valor absoluto de la integral, pero es preferible identificar que la parábola es cóncava ($f''(x) = -2 \lt 0$).

El área $A$ se define como la integral de la función diferencia entre los puntos de corte: $$A = \int_{0}^{a-1} [-x^2 + (a-1)x] \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int [-x^2 + (a-1)x] \, dx = -\frac{x^3}{3} + (a-1)\frac{x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{(a-1)x^2}{2} \right]_{0}^{a-1}$$ $$A = \left( -\frac{(a-1)^3}{3} + \frac{(a-1)(a-1)^2}{2} \right) - (0)$$ $$A = -\frac{(a-1)^3}{3} + \frac{(a-1)^3}{2}$$ Para sumar las fracciones, buscamos un denominador común (6): $$A = \frac{-2(a-1)^3 + 3(a-1)^3}{6} = \frac{(a-1)^3}{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Sabemos por el enunciado que el área es igual a $\frac{4}{3}$, por lo tanto igualamos el resultado obtenido: $$\frac{(a-1)^3}{6} = \frac{4}{3}$$ Despejamos $(a-1)^3$: $$(a-1)^3 = \frac{4 \cdot 6}{3}$$ $$(a-1)^3 = 8$$ Tomamos la raíz cúbica en ambos lados: $$a - 1 = \sqrt[3]{8}$$ $$a - 1 = 2$$ $$a = 3$$ Como $a = 3$ cumple la condición $a \gt 1$ impuesta en el enunciado, la solución es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3}$$