Cálculo de parámetros de una función polinómica

**Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Halla los coeficientes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que $f$ presenta un extremo local en el punto de abscisa $x = 0$, que $(1, 0)$ es punto de inflexión de la gráfica de $f$ y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es $-3$.** Para resolver este ejercicio, primero debemos identificar matemáticamente qué información nos aporta cada dato del enunciado. La función es un polinomio de tercer grado: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Sus derivadas sucesivas son: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ Las condiciones dadas se traducen en las siguientes ecuaciones: 1. **Extremo local en $x=0$**: La derivada en ese punto debe ser cero. $$f'(0) = 0$$ 2. **Punto de inflexión en $(1, 0)$**: Esto aporta dos datos: - El punto pertenece a la gráfica: $f(1) = 0$ - En un punto de inflexión, la segunda derivada se anula: $f''(1) = 0$ 3. **Pendiente de la recta tangente en $(1, 0)$ es $-3$**: La derivada en $x=1$ es igual a la pendiente. $$f'(1) = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un extremo local (máximo o mínimo) implica $f'(x)=0$ y un punto de inflexión implica $f''(x)=0$.

Utilizamos la condición de que $f$ presenta un extremo en $x = 0$: $$f'(0) = 0 \implies 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0$$ De aquí obtenemos directamente el valor de $c$: $$\boxed{c = 0}$$

Como $(1, 0)$ es un punto de inflexión, aplicamos $f''(1) = 0$: $$f''(1) = 6a(1) + 2b = 0 \implies 6a + 2b = 0$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $$3a + b = 0 \implies b = -3a \quad \text{(Ecuación 1)}$$ Además, la pendiente de la tangente en dicho punto ($x=1$) es $-3$: $$f'(1) = -3 \implies 3a(1)^2 + 2b(1) + c = -3$$ Sustituyendo el valor ya conocido $c=0$: $$3a + 2b = -3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto es el valor de la derivada en la abscisa de dicho punto: $m = f'(a)$.

Sustituimos la **Ecuación 1** ($b = -3a$) en la **Ecuación 2**: $$3a + 2(-3a) = -3$$ $$3a - 6a = -3$$ $$-3a = -3 \implies a = \frac{-3}{-3}$$ $$\boxed{a = 1}$$ Ahora calculamos $b$ usando la relación $b = -3a$: $$b = -3(1) = -3$$ $$\boxed{b = -3}$$

Finalmente, usamos el hecho de que el punto $(1, 0)$ pertenece a la función, es decir, $f(1) = 0$: $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0$$ $$a + b + c + d = 0$$ Sustituimos los valores obtenidos ($a=1, b=-3, c=0$): $$1 - 3 + 0 + d = 0$$ $$-2 + d = 0$$ $$\boxed{d = 2}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca la condición de que el punto $(x, y)$ debe satisfacer la ecuación original de la función $y = f(x)$.

Los valores de los coeficientes son: $$\boxed{a = 1, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad d = 2}$$ La función buscada es: $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$ A continuación se muestra la representación gráfica de la función donde se pueden apreciar el extremo local en $(0,2)$ y el punto de inflexión en $(1,0)$.