Geometría métrica: equidistancia y punto más próximo

**a) [1’5 puntos] Halla el punto de $r$ que equidista del origen de coordenadas y del punto $P(4, -2, 2)$.** En primer lugar, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para poder trabajar con un punto genérico de la misma. La ecuación continua es: $$\frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z}{1}$$ Igualando cada fracción a un parámetro $\lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$\begin{cases} x = -2 + 3\lambda \\ y = -1 + 4\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $R$ perteneciente a la recta $r$ tendrá la forma: $$R(-2 + 3\lambda, -1 + 4\lambda, \lambda)$$ 💡 **Tip:** Pasar a paramétricas es casi siempre el primer paso en problemas donde buscamos un punto específico de una recta.

Queremos hallar un punto $R$ tal que la distancia al origen $O(0, 0, 0)$ sea igual a la distancia al punto $P(4, -2, 2)$. Es decir: $$d(R, O) = d(R, P)$$ Para facilitar los cálculos, trabajamos con el cuadrado de las distancias para eliminar las raíces cuadradas: $$d(R, O)^2 = d(R, P)^2$$ Calculamos $d(R, O)^2$: $$d(R, O)^2 = (-2 + 3\lambda - 0)^2 + (-1 + 4\lambda - 0)^2 + (\lambda - 0)^2$$ $$d(R, O)^2 = (4 - 12\lambda + 9\lambda^2) + (1 - 8\lambda + 16\lambda^2) + \lambda^2$$ $$d(R, O)^2 = 26\lambda^2 - 20\lambda + 5$$ Calculamos $d(R, P)^2$: $$d(R, P)^2 = (-2 + 3\lambda - 4)^2 + (-1 + 4\lambda - (-2))^2 + (\lambda - 2)^2$$ $$d(R, P)^2 = (3\lambda - 6)^2 + (4\lambda + 1)^2 + (\lambda - 2)^2$$ $$d(R, P)^2 = (9\lambda^2 - 36\lambda + 36) + (16\lambda^2 + 8\lambda + 1) + (\lambda^2 - 4\lambda + 4)$$ $$d(R, P)^2 = 26\lambda^2 - 32\lambda + 41$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Igualamos ambas expresiones: $$26\lambda^2 - 20\lambda + 5 = 26\lambda^2 - 32\lambda + 41$$ Simplificamos los términos en $\lambda^2$ y despejamos $\lambda$: $$-20\lambda + 32\lambda = 41 - 5$$ $$12\lambda = 36$$ $$\lambda = \frac{36}{12} = 3$$ Sustituimos $\lambda = 3$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas del punto: $$x = -2 + 3(3) = 7$$ $$y = -1 + 4(3) = 11$$ $$z = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(7, 11, 3)}$$

**b) [1 punto] Determina el punto de la recta $r$ más próximo al origen de coordenadas.** El punto de una recta más próximo a un punto externo (en este caso el origen $O$) es la proyección ortogonal del punto sobre la recta. Sea $S$ el punto buscado de la recta $r$. El vector $\vec{OS}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v_r}$. Datos: - Punto genérico $S(-2 + 3\lambda, -1 + 4\lambda, \lambda)$ - Vector director $\vec{v_r} = (3, 4, 1)$ - Vector $\vec{OS} = (-2 + 3\lambda, -1 + 4\lambda, \lambda)$ La condición de perpendicularidad es que su producto escalar sea cero: $$\vec{OS} \cdot \vec{v_r} = 0$$ 💡 **Tip:** También podrías resolverlo minimizando la función de distancia $d(R, O)^2 = 26\lambda^2 - 20\lambda + 5$ hallada en el apartado anterior usando derivadas.

Aplicamos el producto escalar: $$(3, 4, 1) \cdot (-2 + 3\lambda, -1 + 4\lambda, \lambda) = 0$$ $$3(-2 + 3\lambda) + 4(-1 + 4\lambda) + 1(\lambda) = 0$$ $$-6 + 9\lambda - 4 + 16\lambda + \lambda = 0$$ $$26\lambda - 10 = 0$$ $$26\lambda = 10 \implies \lambda = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $S$ sustituyendo $\lambda = \frac{5}{13}$: $$x = -2 + 3\left(\frac{5}{13}\right) = -2 + \frac{15}{13} = \frac{-26 + 15}{13} = -\frac{11}{13}$$ $$y = -1 + 4\left(\frac{5}{13}\right) = -1 + \frac{20}{13} = \frac{-13 + 20}{13} = \frac{7}{13}$$ $$z = \frac{5}{13}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{S\left(-\frac{11}{13}, \frac{7}{13}, \frac{5}{13}\right)}$$