Ecuaciones matriciales y determinantes

**a) [1 punto] Halla el determinante de una matriz $X$ que verifique la igualdad $X^2AX = B$.** En primer lugar, calculamos los determinantes de las matrices $A$ y $B$ utilizando la regla para matrices $2 \times 2$: Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $$|A| = (1 \cdot 1) - (2 \cdot 1) = 1 - 2 = -1$$ Para $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$: $$|B| = (4 \cdot 1) - (-1 \cdot 4) = 4 + 4 = 8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ es $ad - bc$.

Dada la ecuación matricial $X^2AX = B$, aplicamos la propiedad de que el determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes ($|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$): $$|X^2AX| = |B|$$ $$|X|^2 \cdot |A| \cdot |X| = |B|$$ $$|X|^3 \cdot |A| = |B|$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$|X|^3 \cdot (-1) = 8$$ $$-|X|^3 = 8 \implies |X|^3 = -8$$ Calculamos la raíz cúbica: $$|X| = \sqrt[3]{-8} = -2$$ ✅ **Resultado (determinante de X):** $$\boxed{|X| = -2}$$

**b) [1’5 puntos] Determina, si existe, la matriz $Y$ que verifica la igualdad $A^2YB^{-1} = A$.** Para hallar $Y$, debemos despejarla de la ecuación $A^2YB^{-1} = A$. Primero, multiplicamos por la izquierda por $(A^2)^{-1}$ (que existe pues $|A| \neq 0$): $$(A^2)^{-1} A^2 Y B^{-1} = (A^2)^{-1} A$$ $$I \cdot Y B^{-1} = (A \cdot A)^{-1} A$$ $$Y B^{-1} = A^{-1} A^{-1} A$$ $$Y B^{-1} = A^{-1} I = A^{-1}$$ Ahora multiplicamos por la derecha por $B$: $$Y B^{-1} B = A^{-1} B$$ $$Y = A^{-1} B$$ 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por una matriz inversa a la izquierda en un miembro, debes hacerlo también a la izquierda en el otro.

Calculamos $A^{-1}$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Ya sabemos que $|A| = -1$. Hallamos la matriz de adjuntos de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: - $C_{11} = 1$ - $C_{12} = -1$ - $C_{21} = -2$ - $C_{22} = 1$ $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ Por tanto: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $Y = A^{-1} B$ realizando el producto de matrices: $$Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} (-1)(4) + (2)(4) & (-1)(-1) + (2)(1) \\ (1)(4) + (-1)(4) & (1)(-1) + (-1)(1) \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} -4 + 8 & 1 + 2 \\ 4 - 4 & -1 - 1 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}}$$