Área entre una raíz cuadrada y una parábola

**a) [0’75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Haz un esbozo del recinto que limitan.** Para hallar los puntos de corte de las gráficas, igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies \sqrt{2x} = \frac{1}{2}x^2$$ Para resolver esta ecuación, elevamos ambos miembros al cuadrado (teniendo en cuenta que $x \ge 0$ por el dominio de $f$): $$(\sqrt{2x})^2 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 \implies 2x = \frac{1}{4}x^4$$ Multiplicamos por $4$ para eliminar el denominador y reordenamos la ecuación: $$8x = x^4 \implies x^4 - 8x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^3 - 8) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = \sqrt[3]{8} = 2$ Ahora calculamos las ordenadas correspondientes: - Si $x = 0 \implies f(0) = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$. Punto: $(0, 0)$ - Si $x = 2 \implies f(2) = \sqrt{2 \cdot 2} = 2$. Punto: $(2, 2)$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado en una ecuación, pueden aparecer soluciones falsas. Siempre es recomendable comprobar que los valores obtenidos satisfacen la ecuación original. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (2, 2)}$$

Para realizar el esbozo, identificamos el tipo de funciones: - $f(x) = \sqrt{2x}$ es la rama superior de una parábola horizontal con vértice en $(0,0)$. - $g(x) = \frac{1}{2}x^2$ es una parábola vertical con vértice en $(0,0)$ y abierta hacia arriba. El recinto está limitado por estas dos curvas entre $x = 0$ y $x = 2$.

**b) [1’75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte. Determinamos cuál es la función superior en el intervalo $(0, 2)$ tomando un valor intermedio, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = \sqrt{2} \approx 1,41$ - $g(1) = \frac{1}{2}(1)^2 = 0,5$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función superior es $f(x)$. Por tanto, el área $A$ es: $$A = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{2} \left( \sqrt{2x} - \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es probable que hayas intercambiado el orden de las funciones superior e inferior. $$\boxed{A = \int_{0}^{2} \left( \sqrt{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx}$$

Calculamos la integral indefinida: $$\int \left( \sqrt{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx = \sqrt{2} \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{6}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow en los límites $[0, 2]$: $$A = \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = \frac{2\sqrt{2}}{3}(2)^{3/2} - \frac{2^3}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{2^3} - \frac{8}{6}$$ Como $\sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$: $$F(2) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = \frac{2\sqrt{2}}{3}(0)^{3/2} - \frac{0^3}{6} = 0$$ Restamos los resultados: $$A = F(2) - F(0) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{3} \text{ u}^2}$$