Optimización del volumen de una caja de base cuadrada

Para resolver este problema de optimización, lo primero es definir las variables que intervienen en las dimensiones de la caja: - Sea $x$ la longitud del lado de la base cuadrada (en cm). - Sea $h$ la altura de la caja (en cm). El enunciado nos da una restricción: la altura más el perímetro de la base suman $60$ cm. El perímetro de una base cuadrada de lado $x$ es $P = 4x$. Escribimos la ecuación de la restricción: $$h + 4x = 60$$ Despejamos una de las variables (la $h$ es más sencilla) para expresar todo en función de una sola variable: $$h = 60 - 4x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre busca una relación entre las variables para convertir la función de varias variables en una función de una sola variable.

Queremos maximizar el **volumen** de la caja. La fórmula del volumen de un prisma de base cuadrada es: $$V = Área_{\text{base}} \cdot \text{altura} = x^2 \cdot h$$ Sustituimos la expresión de $h$ que hallamos en el paso anterior: $$V(x) = x^2 (60 - 4x) = 60x^2 - 4x^3$$ **Dominio de la función:** Como $x$ es una longitud, $x \gt 0$. Además, la altura $h$ también debe ser positiva: $$60 - 4x \gt 0 \implies 60 \gt 4x \implies x \lt 15$$ Por tanto, el dominio de nuestra función es $x \in (0, 15)$. $$\boxed{V(x) = 60x^2 - 4x^3, \quad x \in (0, 15)}$$

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada de la función $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = \frac{d}{dx}(60x^2 - 4x^3) = 120x - 12x^2$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$120x - 12x^2 = 0$$ $$12x(10 - x) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $12x = 0 \implies x = 0$ (No válida, ya que no habría caja). 2. $10 - x = 0 \implies x = 10$. El punto crítico a estudiar es **$x = 10$**. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos.

Para confirmar que en $x = 10$ hay un máximo, estudiamos el signo de la primera derivada $V'(x) = 12x(10-x)$ en el intervalo $(0, 15)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 15) \\ \hline V'(x) & + & 0 & - \\ \hline V(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array} $$ - En el intervalo $(0, 10)$, si tomamos $x=1$, $V'(1) = 120 - 12 = 108 \gt 0$. - En el intervalo $(10, 15)$, si tomamos $x=11$, $V'(11) = 120(11) - 12(11)^2 = 1320 - 1452 = -132 \lt 0$. Al pasar de crecer a decrecer, en **$x = 10$** existe un **máximo relativo** (que es absoluto en el dominio). 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada: $V''(x) = 120 - 24x$. Evaluando $V''(10) = 120 - 240 = -120 \lt 0$, lo que confirma el máximo.

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el volumen, calculamos la altura $h$ correspondiente: $$h = 60 - 4x = 60 - 4(10) = 60 - 40 = 20 \text{ cm}$$ Las dimensiones de la caja son: - Lado de la base: **$x = 10$ cm** - Altura de la caja: **$h = 20$ cm** El volumen máximo (aunque no lo pide explícitamente) sería $V = 10^2 \cdot 20 = 2000 \text{ cm}^3$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base: lado de 10 cm, Altura: 20 cm}}$$