Recta perpendicular a otra que pasa por un punto

Para resolver el problema, primero extraemos la información de la recta $s$, que está dada en su forma continua: $$s \equiv \frac{x - 4}{5} = \frac{y - 8}{-3} = \frac{z}{4}$$ De la ecuación de $s$ obtenemos: - Un punto de la recta: $Q_s(4, 8, 0)$. - El vector director de la recta: $\vec{v}_s = (5, -3, 4)$. También expresamos la recta en su forma paramétrica para facilitar los cálculos de intersección posteriores: $$s \equiv \begin{cases} x = 4 + 5\lambda \\ y = 8 - 3\lambda \\ z = 4\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_x, v_y, v_z)$.

Para que la recta $r$ corte perpendicularmente a $s$, debe estar contenida en un plano $\pi$ que sea perpendicular a $s$ y que contenga al punto $P(3, -5, 4)$. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta $s$: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_s = (5, -3, 4)$$ La ecuación general del plano es de la forma $5x - 3y + 4z + D = 0$. Imponemos que pase por $P(3, -5, 4)$: $$5(3) - 3(-5) + 4(4) + D = 0$$ $$15 + 15 + 16 + D = 0 \implies 46 + D = 0 \implies D = -46$$ El plano auxiliar es: $$\pi \equiv 5x - 3y + 4z - 46 = 0$$

El punto donde la recta $r$ cortará a $s$ es la intersección entre la recta $s$ y el plano $\pi$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $s$ en la ecuación de $\pi$: $$5(4 + 5\lambda) - 3(8 - 3\lambda) + 4(4\lambda) - 46 = 0$$ $$20 + 25\lambda - 24 + 9\lambda + 16\lambda - 46 = 0$$ $$50\lambda - 50 = 0 \implies 50\lambda = 50 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $s$ para hallar el punto de corte $Q$: $$x = 4 + 5(1) = 9$$ $$y = 8 - 3(1) = 5$$ $$z = 4(1) = 4$$ El punto de corte es **$Q(9, 5, 4)$**. 💡 **Tip:** Este punto $Q$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta $s$.

La recta $r$ es la que pasa por el punto $P(3, -5, 4)$ y por el punto de corte $Q(9, 5, 4)$. Calculamos su vector director $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \vec{PQ} = Q - P = (9 - 3, 5 - (-5), 4 - 4) = (6, 10, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2 para que sea más manejable: $$\vec{v}_r' = (3, 5, 0)$$ Finalmente, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ usando el punto $P$ y el vector $\vec{v}_r'$: $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -5 + 5t \\ z = 4 \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -5 + 5t \\ z = 4 \end{cases}}$$